Les débuts de la géométrie de l’espace avec GeoGebra

Cette première activité comporte 4 parties.

La première (a) peut être faite en préparation à domicile.

La deuxième (b) ne devrait pas prendre une heure de cours complète. Cette exploration dans l’espace physique réel aide grandement à décoder les représentations du logiciel.

La troisième (c) prendrait une heure en salle informatique. Si les élèves ont fini avant la fin de l’heure, on peut leur demander de préparer une construction précise pour des cas particuliers (le cas d’un losange par exemple).
La dernière partie, la synthèse devrait prendre une heure maximum.

Dans la feuille de questions, à l’étape 2, un exemple de cube a été mis pour montrer une position qui permet une recherche efficace.
A l’étape 5, un exemple de solution est là pour inciter les élèves à remplir la feuille de solutions au fur et à mesure du travail sans quoi, ils risquent bien de ne pas se souvenir de tous les cas rencontrés à la fin de l’heure.
On peut rendre la section plus visible en réglant l’opacité du cube sur 0 (clic droit sur le cube dans la fenêtre algébrique/ propriétés/ couleur…).

La synthèse en classe se fera idéalement en projetant un fichier GGB, de manière à pouvoir bouger le cube et les sections pour corriger et compléter les productions des élèves.
Un clic droit sur la section permet d’accéder à ses propriétés. On peut alors demander d’en créer une vue 2D en vraie grandeur.
Il est indispensable aussi d’avoir un cube concret et du matériel pour visualiser les sections dans l’espace réel.

Cette première activité permet en outre de découvrir de manière naturelle des propriétés de géométrie de l’espace.
Par exemple, le fait qu’un plan coupant deux plans parallèles les coupe selon des droites parallèles peut émerger lors de la recherche des formes possibles pour les sections (toutes les sections ayant au moins quatre côtés présentent nécessairement une paire de côtés parallèles). Cette propriété peut également apparaître lorsqu’il faut reproduire les sections sur le papier.

Lors de ces activités, le professeur peut collecter les énoncés trouvés par les élèves au fur et à mesure de leurs découvertes.
Plus tard, lors d’une activité de synthèse théorique, le professeur pourra poser des questions pour faire émerger les énoncés non trouvés. Il restera à distinguer définitions, axiomes et propriétés et mettre de l’ordre dans les énoncés pour obtenir une théorie suffisante à ce niveau.

Le relevé détaillé de toutes les sections possibles, les justifications ou constructions précises constituent un prolongement, certes intéressant mais pas indispensable.

Section en forme de triangle (Fig. 1)
Si le plan de section coupe trois faces entourant un même sommet, la section est nécessairement un triangle.
Suivant la position des points d’intersection des arêtes avec le plan de section, le triangle peut être quelconque, isocèle ou équilatéral mais pas rectangle.

Section en forme de quadrilatère
a) Le plan de section coupe deux paires de faces parallèles.
Le quadrilatère le plus général obtenu dans ce cas est un parallélogramme (Fig. 4). En effet si un plan coupe deux plans parallèles, il les coupe suivant deux droites parallèles entre elles.
On peut avoir le cas particulier d’un losange (Fig. 6), d’un rectangle (Fig. 3) ou d’un carré (Fig. 2)
b) Le plan de section coupe une paire de faces parallèles et deux faces adjacentes.
Le quadrilatère le plus général obtenu dans ce cas est un trapèze (Fig. 5). On peut avoir le cas particulier d’un rectangle ou d’un carré.

Section en forme de pentagone (Fig. 7)
Si le plan coupe cinq faces du cube, il coupe nécessairement deux paires de faces opposées parallèles. Le pentagone obtenu ne peut donc être régulier; il a deux paires de côtés parallèles.

Section en forme d’hexagone (Fig. 8)
Si le plan coupe les six faces du cube, il coupe nécessairement trois paires de faces parallèles. L’hexagone obtenu a donc trois paires de côtés opposés parallèles et peut en particulier être régulier.
La représentation du cube proposée dans l’activité 1 est familière aux élèves et est utilisée spontanément. Néanmoins, les différents types de représentations de situations spatiales ne sont en général pas bien connus et compris. Prendre du recul, en comparant les projections centrale et parallèle est bien utile.
Nous le proposons au départ d’images dans l’activité 2 et ensuite sur des cubes à l’activité 3. La synthèse est établie ensuite.

Rames de métro
Les verticales de la réalité sont représentées par des verticales. Pour les horizontales, il faut distinguer :
– la famille des droites parallèles au front du preneur de photo (on les appelle frontales) dont les représentations sont parallèles entre elles ;
– l’autre famille d’horizontales qui sont représentées par des droites convergeant vers un même point.

Jeu vidéo
Toutes les familles de droites parallèles sont représentées par des familles de droites parallèles.

Estampe
Mêmes constatations que pour le jeu vidéo même si la taille du décor est nettement plus petite.

Bâtiment
Comme pour la première photo, les verticales de la réalité sont représentées par des verticales. On discerne deux familles de droites horizontales parallèles dans la réalité qui sont chacune représentée par des droites convergeant vers un même point. Ces deux points sont situés sur une droite horizontale de l’image.

Pièce d’atelier
Comme pour le jeu vidéo et l’estampe, les familles de droites parallèles sont représentées par des familles de droites parallèles. On a ici le cas particulier d’une famille de parallèles horizontales de l’objet représentées par des horizontales sur le dessin.

La représentation en projection centrale de la figure 2 n’est là que pour contraster avec celles en projection parallèle. L’important est que les élèves se rendent compte qu’elle n’est pas pratique pour la géométrie car ni le parallélisme ni les rapports de longueurs sur une même direction ne sont conservés. Si on veut terminer la construction de la face latérale du deuxième cube, on peut utiliser les points de fuite de diagonales parallèles.

Cet exercice est l’occasion de prendre du recul par rapport aux représentations du cube./

a) Seule la figure 2 correspond à la représentation utilisée pour le métro et le bâtiment. Les familles de droites parallèles dans l’espace ont pour images soit des droites parallèles, soit des droites qui se coupent en un point appelé point de fuite. Ce type de représentation s’obtient par projection sur un plan au départ d’un point (dans la réalité, l’œil, une lampe ou l’objectif d’un appareil photo). Le résultat de cette projection centrale s’appelle perspective à point de fuite.

Dans les quatre autres cas, les parallèles ont des images parallèles, comme dans le jeu, l’estampe et la pièce d’atelier. On peut obtenir ces images par des projections parallèles sur un plan (dans la réalité, l’ombre au soleil).
Le dessin obtenu dépend de la position du cube par rapport au plan de projection et de la direction de projection. Les images par projection parallèle sont également appelées perspectives axonométriques.
– La figure 1 correspond à la représentation utilisée pour la pièce d’atelier : deux faces sont parallèles au plan de projection. Dans ces deux faces, les longueurs et les angles sont conservés. On parle aussi de perspective cavalière dans ce cas particulier de projection parallèle.
– Pour la figure 3, la direction de projection est orthogonale au plan de projection et le cube est positionné avec une diagonale perpendiculaire au plan de projection. Tous les arêtes du cube y sont représentées par des segments de même longueur. C’est pour cette raison que l’on parle ici de perspective isométrique.
– La figure 4 correspond à la représentation utilisée pour le jeu vidéo et l’estampe. On la rencontre souvent : plans de montage de meubles en kit ou de jeux de construction, logos publicitaires, …
– A La figure 5, on “voit” plutôt un parallélépipède rectangle. C’est une perspective cavalière d’un cube, avec une direction de projection “rasante”, comme une ombre au soleil couchant.
b) Si l’ajout de la face latérale droite du cube à l’arrière ne pose pas de problème dans le cas des projections parallèles, il n’en va pas de même dans le cas de la figure 2. Le placement de l’arête verticale arrière n’est pas évident car la longueur du côté fuyant du deuxième cube est inconnue, plus petite que celui du premier.

b)

c) Comme une projection parallèle conserve le parallélisme et les rapports de longueur dans chaque direction, elle convient mieux dans le cadre de la géométrie qu’une projection centrale (Fig. 2). Les dessins 1 et 4 sont préférables au 3 qui a deux sommets confondus et au 5 qui fait plus penser à un parallélépipède.

Il est vraiment utile de demander aux élèves de numéroter dans l’ordre chronologique les traits qu’ils construisent. Cela leur permettra de retrouver plus tard le « film » de la construction de la section.

Il y a parfois plusieurs chemins pour arriver à la section; nous n’en présentons qu’un seul. Dans les solutions proposées, des traits portent un même numéro lorsque l’ordre de construction est indifférent.

Le tracé de parallèles demande de la précision ; la moindre petite déviation a des conséquences importantes. Les élèves doivent bien vérifier à la fin de leurs constructions que les côtés de la section appartenant à des faces opposées sont bien parallèles entre eux. On peut suggérer aux élèves de colorier d’une même teinte les paires de traits parallèles entre eux.

Pour les figures 4 et 5 qui nécessitent des recherches de points de percée, il y a plusieurs choix possibles pour « sortir » du cube.

Les constructions s’appuient sur deux propriétés de géométrie de l’espace :
– une droite passant par deux points d’un plan est contenue dans ce plan ;
– deux plans parallèles sont coupés par un troisième plan suivant deux droites parallèles.
Les constructions dans les figures 4 et 5 nécessitent en plus la recherche d’un point de percée d’une droite dans un plan.

Examinons la figure 4. La construction, dans la face arrière, d’une parallèle à la droite de la face avant donne un point dans la face latérale droite mais on ne dispose pas d’un second point dans cette face. L’idée est alors de « sortir du cube » en prolongeant des droites coplanaires jusqu’à leur intersection et de trouver ainsi de nouveaux points à relier.

La figure 6 propose un point P à l’intérieur d’une face plutôt que sur une arête. Comme nous disposons d’un autre point de cette face, nous pouvons les relier. Ici, il ne faut pas oublier la première propriété citée ci-dessus : la droite reliant ces deux points est bien entièrement contenue dans le plan de cette face. Il faut donc prolonger le segment reliant le point supérieur au point P jusqu’à son intersection avec l’arête inférieure et ensuite continuer le processus de construction.