Les différents types d’angles

Nous exposons ici les propriétés des angles alternes internes, alternes externes, correspondants, opposés par le sommet, complémentaires et supplémentaires établies grâce aux activités de déformations de quadrilatères et à celles sur les pavages de parallélogrammes.

Public : 13-14 ans

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1) Quelques définitions

Angles adjacents

Définition. Deux angles adjacents sont deux angles qui ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d’autre de ce côté commun.

Les angles BAC et CAD sont adjacents.

Angles complémentaires

Définition. Des angles complémentaires sont des angles dont la somme des amplitudes égale 90°.

Les angles CBA et ABD sont complémentaires, de même que les angles GFE et HIJ.

Angles supplémentaires

Définition. Des angles supplémentaires sont des angles dont la somme des amplitudes égale 180°.

Les angles ACD et DCB sont supplémentaires, de même que les angles EFG et IHJ.

2) Angles déterminés par deux sécantes

Soient deux droites sécantes.

Ces droites déterminent des angles
– opposés par le sommet ( A1 et A3 ; A2 et A4 ) ;
– adjacents supplémentaires ( A1 et A2 ; A2 et A3 ; A3 et A4 ; A4 et A1 ).

Angles opposés par le sommet

Définition. Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui ont le même sommet et leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre.

Propriété. Deux angles opposés par le sommet ont la même amplitude.

En effet, deux angles opposés par le sommet, comme A1 et A3, ont le même angle supplémentaire, ici A2 par exemple. Ils ont donc même amplitude.
Par ailleurs, ils sont images l’un de l’autre par symétrie centrale.

3) Angles déterminés par deux droites quelconques et une sécante aux deux droites

Soient deux droites a et b et une droite c qui leur est sécante.

Ces droites déterminent des angles
alternes internes ( B4 et A2 ; B3 et A1 ) ;
alternes externes ( B2 et A4 ; B1 et A3) ;
correspondants (B1 et A1 ; B2 et A2 ; B3 et A3 ; B4 et A4 ).

Propriété 1. Si les droites a et b sont parallèles, les angles alternes internes ainsi déterminés ont la même amplitude ; il en va de même pour les angles alternes externes et pour les angles correspondants.

Propriété 2. Si des angles alternes internes ont la même amplitude, c’est qu’ils sont déterminés par des droites parallèles ; il en va de même pour les angles alternes externes et pour les angles correspondants.

Ces propriétés sont réciproques l’une de l’autre.

Reprenons ci-dessous les définitions et propriétés relatives à chaque relation d’angles.

Angles correspondants

Définition. Deux angles sont correspondants s’ils n’ont pas le même sommet et sont situés du même côté de la sécante c et du même côté respectivement de la droite a et de la droite b.

Dans le cas où les droites a et b sont parallèles, ces angles sont images l’un de l’autre par une translation.

Propriété 1. Deux angles correspondants déterminés par deux parallèles et une sécante ont la même amplitude.

Propriété 2. Si des angles correspondants ont la même amplitude, c’est qu’ils sont déterminés par des droites parallèles.

Angles alternes internes

Définition. Deux angles sont alternes internes s’ils n’ont pas le même sommet et sont situés de part et d’autre de la sécante c et entre les droites a et b.

Dans le cas où les droites a et b sont parallèles, ces angles sont images l’un de l’autre par une symétrie centrale.

Propriété 1. Deux angles alternes internes déterminés par deux parallèles et une sécante ont la même amplitude.

Propriété 2. Si des angles alternes internes ont la même amplitude, c’est qu’ils sont déterminés par des droites parallèles.

Angles alternes externes

Définition. Deux angles sont alternes externes s’ils n’ont pas le même sommet et sont situés de part et d’autre de la sécante c et à l’extérieur des deux droites a et b.