Somme des amplitudes des angles dans un triangle

Sont repris ici l’énoncé et une démonstration de la propriété des angles dans un triangle.

Public : 13-14 ans

Propriété : Dans tout triangle, la somme des amplitudes des angles intérieurs égale 180°.

Démonstration.

Soit le triangle ABC. Traçons une droite a parallèle au côté [BC] du triangle et comprenant le point A. Cette droite détermine des angles A1, A2 et A3 qui forment ensemble un angle plat ; on peut donc écrire que

A1 + A2 + A3 = 180°.

Or, on voudrait prouver que

B + A2 + C = 180°.

Les angles B et A1 sont de même amplitude car ce sont des angles alternes internes déterminés par les parallèles a et BC et la sécante AB. On obtient l’égalité suivante : B = A1.
Les angles C et A3 sont également alternes internes déterminés par les parallèles a et BC et la sécante AC et sont donc de même amplitude.
On a C = A3.
Dès lors, en remplaçant l’angle A1 par l’angle B et l’angle A3 par l’angle C dans l’égalité

A1 + A2 + A3 = 180°,

on obtient une nouvelle égalité :

B + A2 + C = 180°.

Ce qu’il fallait démontrer.

Activité liée à ce contenu

• Des angles dans tous leurs états (partie 6)
• Somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle
• Problèmes d’application sur les angles

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Instruments de pensée

• Changement de point de vue
• L’astuce de cette démonstration (tracer une parallèle au côté [AB]) nécessite de voir l’invisible