Étude du lancer de trois dés

L’activité en bref

L’objectif est de déterminer les probabilités d’obtenir les sommes 9 et 10 en lançant trois dés. ^[1]Cet énoncé est connu comme « problème de Galilée » ou comme « paradoxe du prince de Toscane».

Public cible

Toutes classes ayant dans leur programme l’étude des probabilités : 6GT, 6TT, 6TQ et 7^ème.

Toutes classes ayant étudié la boite à moustache : 4GT et 4TT 

Enjeux

• Adopter une démarche expérimentale.
• Aborder les notions d’expérience aléatoire et d’événements.
• Traiter des données et illustrer les résultats avec la boite à moustaches.
• Comprendre le lien entre fréquences et probabilités.
• Déterminer des probabilités à partir de combinaisons.
• Appréhender la fluctuation d’échantillonnage en lien avec la taille de l’échantillon.

Matériel

Trois dés par élève.

Fichier Excel des simulations (voir l’annexe de ce document).

Durée

Environ 2 heures de cours (3h si les élèves réalisent les boites à moustaches à la main).

Énoncé

Le prince de Toscane demanda un jour à Galilée : pourquoi lorsqu’on jette trois dés, obtient-on plus souvent la somme 10 que la somme 9, bien que ces deux sommes soient obtenues chacune de six façons différentes ?

L’observation du prince de Toscane est-elle vraie ? Et si oui, pourquoi ?  

Étape 1 : Expérimentation 

Lancez 20 fois 3 dés et notez combien de fois vous avez obtenu 9 et combien de fois vous avez obtenu 10 (nous supposons que tous les dés sont parfaitement équilibrés).

Obtenir 9	Obtenir 10	Autres sommes	Total des lancers
			20

Donnez les 6 façons d’obtenir 9 et les 6 façons d’obtenir 10 en lançant 3 dés.

Obtenir 9	Obtenir 10

Quelle somme avez-vous eu le plus ?

Est-ce que cela est suffisant pour confirmer ou infirmer les propos du prince de Toscane ?

Que pourrions-nous faire pour confirmer ou infirmer ?

Étape 2 : Relevé des résultats de toute la classe :

Elève	Obtenir 9	Obtenir 10	Total des lancers
1			20
2
3
…
24
25
Total :
Fréquence :

Peut-on à présent émettre une hypothèse sur les fréquences d’obtenir 9 et 10?

Étape 3 : Simulations

Voici les résultats d’une simulation effectuant 10 000 lancers de triplets de dés :

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 3: 45

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 4: 158

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 5: 243

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 6: 495

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 7: 672

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 8: 946

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 9: 1149

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 10: 1253

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 11: 1268

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 12: 1168

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 13: 965

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 14: 666

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 15: 507

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 16: 292

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 17: 128

Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 18: 45

Déterminez les fréquences d’obtention des sommes 9 et 10 :

D’après la simulation, le prince de Toscane avait-il raison?

Cependant, pouvons-nous faire confiance à cette simulation ? L’écart entre les fréquences de 9 et 10 est-il réel ou uniquement dû au hasard? Pour régler ce problème, il suffit de répéter la simulation plusieurs fois pour observer si il y a réellement une différence entre ces deux fréquences.

Étape 4 : Comparaison des simulations

On a réalisé 80 simulations de :

• 10 lancers de trois dés
• 100 lancers de trois dés
• 1000 lancers de trois dés
• 10000 lancers de trois dés

Pour chaque simulation on a calculé uniquement les fréquences d’observation des sommes égales à 9 et à 10. En annexe, vous trouverez les différentes fréquences à l’issue des simulations (en écriture décimale et en pourcentage) dans le fichier Excel ci-joint .^[2]Pour les personnes intéressées vous trouverez en annexe le code python qui a permis de réaliser ces simulations

Comparer les résultats des 4 types de simulations (10, 100, 1000 et 10000 lancers), en dessinant les boites à moustaches des fréquences d’obtention de 9 et 10 pour chacune des simulations.

La simulation réalisée précédemment à l’étape 3 peut-elle être considérée comme fiable ?

A partir de combien de lancers des trois dés peut-on considérer qu’une simulation est fiable ?

Étape 5 : Approche théorique

Nous avons constaté que l’expérimentation ne nous permet pas de conclure sur la question du prince de Toscane à partir des fréquences d’observation de 9 et 10. Cependant, les simulations montrent une plus grande fréquence de la somme égale à 10 par rapport à celle égale à 9 lorsque le nombre de lancers devient très grand (au-delà de 1000, la largeur des boites à moustaches devient suffisamment petite pour observer une différence dans les fréquences de “9” et de “10”).

Comment peux-tu expliquer cette prévision sur base de la symétrie des dés ?

Éléments de réponses et quelques commentaires didactiques

Étape 1 :

Cette étape permet aux élèves de réfléchir aux combinaisons possibles d’obtenir 9 ou 10 avec trois nombres naturels inférieurs ou égaux à 6.

A ce stade, il est fort probable que les élèves observent des résultats très différents (certains ayant plus de 9 que de 10 et d’autres inversement). Il n’est donc pas possible de tirer une conclusion.

Étape 2 :

Deux cas de figures peuvent se produire :

• Les fréquences de 9 et 10 sont proches.
• Les fréquences de 9 et 10 sont relativement éloignées.

Quelle que soit la situation, même si la classe contient 30 élèves, il est risqué de conclure à ce stade qu’une somme est plus fréquente que l’autre.

Étape 4 :

Comme il y a un grand nombre de boites à réaliser, il est conseillé de les dessiner à l’aide de Géogebra.

Méthode pour réaliser les boites :

1. Ouvrir Geogébra et aller dans l’onglet « affichage » et sélectionner « Tableur ».
2. Dans le tableur qui vient de s’ouvrir, copier-coller les données du tableau en annexe ou du fichier Excel reprenant les résultats de 80 simulations avec un nombre de lancers déterminé.
3. Vous allez réaliser une boite à moustache par colonne (Voir en annexe la vidéo explicative):
   1. Dans la barre d’insertion de valeurs, sélectionner le type de Boite à moustaches suivant : BoiteMoustache(<Ordonnée>,<demi-hauteur>,<série brute>)
   2. Dans ordonnée sélectionner un entier différent pour chaque boîte et ayant un écart de plus de deux fois la demi-hauteur. Exemple 0, 5, 10, 15,… si demi-hauteur = 2.
   3. Pour « série brute », sélectionnez l’intervalle correspondant à vos données. Nous vous conseillons de prendre les fréquences exprimées en pourcentage pour mieux observer les boites.
   4. Penser à nommer votre boite. Pour ce faire, sélectionner votre boite dans la partie algèbre et aller dans propriétés. Une fenêtre s’ouvrira à droite, aller dans l’option basique pour changer de nom. Exemple : FréqDe9sur10lancers  (Attention, il faut tout mettre en un mot).
   5. Voici une illustration de plusieurs boites réalisées pour l’activité:

Interprétation des résultats :

On constate que les médianes sont à chaque fois indiquées et que pour 10 000 lancers, les fréquences obtenues par la simulation donnée à l’étape 3 sont proches de la médiane obtenue à partir des 80 simulations de 10 000 lancers. En effet, “Obtenir 9” a comme médiane 11,56 (11,49 pour la simulation étape 3) et “Obtenir 10” a comme médiane 12,53 (12,53 pour la simulation étape 3).

En regardant les boites, nous constatons qu’à partir de 1000 lancers la différence de position des boites « obtenir 9 » et « obtenir 10 » devient observable (les 50% de données centrales ne se superposant plus). Avec moins de 1000 lancers, il est difficile de déterminer si l’écart de position entre les boites est dû à la variabilité des données des simulations ou si il y a un écart entre les probabilités d’obtenir « 9 » et d’obtenir « 10 ».

Etape 5 :

Explications : Si nous supposons que les trois dés sont parfaitement symétriques et que toutes les faces ont les mêmes chances d’apparaître, les issues possibles pour la somme vont de 3 à 18. Mais, on se rend vite compte que certaines sommes ont plus de chances que d’autres d’apparaître. 3, par exemple ne peut être obtenu qu’en ayant 1+1+1.

Pour 9, par contre, on peut avoir 1+2+6, 1+3+5, 1+4+4, 2+2+5, 2+3+4, 3+3+3.

Pour 10, on peut avoir 1+3+6, 1+4+5, 2+2+6, 2+3+5, 2+4+4, 3+3+4.

Pour 9 et 10, on a le même nombre de décompositions additives mais en regardant de plus près on se rend compte que la somme 3+3+3, par exemple, est plus rare que la somme 2+3+5; la première ne s’obtient que d’une seule manière mais la seconde peut s’obtenir de 6 façons différentes car les trois dés sont distincts : 2+3+5, 2+5+3, 3+5+2, 3+2+5, 5+2+3, 5+3+2. Faisons le décompte total. Pour le premier dé, il y a six possibilités.  Pour chaque possibilité du premier dé, il y a six possibilités pour le second, ce qui fait 36 en tout. Pour chacune des possibilités des deux premiers dés, il y en a six pour le troisième, ce qui fait 216 au total. Comptabilisons alors les possibilités de chaque somme (voir le tableau ci-dessous).

Obtenir 9		Obtenir 10
Somme	Combinaisons	Somme	Combinaisons
1+2+6	6	1+3+6	6
1+3+5	6	1+4+5	6
1+4+4	3	2+2+6	3
2+2+5	3	2+3+5	6
2+3+4	6	2+4+4	3
3+3+3	1	1+3+6	6
Total :	25	Total :	27

On en conclut que la probabilité d’avoir une somme égale à 9 vaut 25/216 (soit environ 0,1157) tandis que la probabilité que la somme soit égale à 10 vaut 27/216 (soit 0,125).

La différence des probabilités de ces deux évènements est donc très faible. On peut donc se demander si les propos du prince de Toscane sont réalistes. Une personne est-elle capable d’observer de son vivant un écart aussi faible?

Quelques échos des classes

L’activité telle quelle n’a jamais été testée mais une première version a été testée dans trois classes (deux de 6TQ et une de 7PC).

Le sel du problème

Cette activité permet de faire le lien entre fréquences et probabilités (dans le programme de 6^ème secondaire) avec une expérience dont les élèves ne connaissent pas à l’avance les résultats mais dont on peut vérifier ceux-ci à la fin de l’activité. Les approches « fréquentiste et classique » par les combinaisons sont visées^[5]Nous reprenons ces termes à Batanero C., Chernoff E.J., Engel J., Lee H.S., Sánchez E. (2016) Research on Teaching and Learning Probability. In: Research on Teaching and Learning Probability. … Continue reading. Pour l’approche “classique” ,d’autres parlent de probabilité théorique ou de probabilité à priori. Tandis que pour l’approche fréquentiste, certains parlent de probabilité à postériori.

Annexe

1) Lien vidéo tutoriel : https://www.youtube.com/watch?v=jUAZbVoeXD8

2) Le pdf de l’activité:

3) Le fichier excel:

4) Code python:

import random # importation du module de création de nombre aléatoire

Nbr_Lancer = int(input(“combien de lancers par simulation?”))
nbr_simulation=int(input(“combien de simulations?”))
Somme1=int(input(“Veillez donner la première somme des trois dés que vous souhaitez étudier”))
Somme2=int(input(“Veillez donner la deuxième somme des trois dés que vous souhaitez étudier”))

def resultatSomme3Des ():
Des1 = random.randint(1, 6)
Des2 = random.randint(1, 6)
Des3 = random.randint(1, 6)
Somme = Des1 + Des2 + Des3
return Somme

def obtenirSomme3Des(NombreSouhaite1, NombreSouhaite2):
Resultat = 0
Compteur1=0
Compteur2=0
if NombreSouhaite1 == NombreSouhaite2:
print(“le deux nombres doivent être différent”)
else:
for j in range (Nbr_Lancer): #par simulation je fais tout mes lancés
#Je lance à chaque fois trois dés dont j’additionne les valeurs
Resultat = resultatSomme3Des ()
if Resultat ==NombreSouhaite1:#je compte combien de fois j’obtiens la première somme voulue
Compteur1 = Compteur1 + 1
if Resultat ==NombreSouhaite2:#je compte combien de fois j’obtiens la première somme voulue
Compteur2 = Compteur2 + 1
print (Compteur1/Nbr_Lancer,’;’,end = ‘ ‘)
print (Compteur2/Nbr_Lancer)
#à chaque simulation j’imprime la fréquence d’avoir obtenu la somme en question.
#Les impressions se font les unes à coté des autres pour obtenir un fichier utilisable par excel

for i in range (nbr_simulation):
obtenirSomme3Des(Somme1,Somme2)

80 simulations de 10 lancers :

10 lancers
fréquences		pourcentage
Obt9	Obt10	Obt9	Obt10
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0	0	0	0
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,1	0,1	10	10
0,2	0,1	20	10
0,2	0,1	20	10
0,2	0,1	20	10
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,2	0,2	20	20
0,3	0,2	30	20
0,3	0,3	30	30
0,3	0,3	30	30
0,3	0,3	30	30
0,3	0,3	30	30
0,3	0,3	30	30
0,3	0,3	30	30
0,3	0,4	30	40
0,3	0,5	30	50
0,4	0,6	40	60

80 simulations de 100 lancers :

100 lancers
fréquences		%
Obt9	Obt10	Obt9	Obt10
0,04	0,05	4	5
0,06	0,06	6	6
0,06	0,07	6	7
0,06	0,07	6	7
0,06	0,08	6	8
0,06	0,08	6	8
0,07	0,08	7	8
0,07	0,08	7	8
0,07	0,08	7	8
0,08	0,09	8	9
0,08	0,09	8	9
0,08	0,09	8	9
0,08	0,09	8	9
0,08	0,1	8	10
0,08	0,1	8	10
0,09	0,1	9	10
0,09	0,1	9	10
0,09	0,1	9	10
0,09	0,1	9	10
0,09	0,11	9	11
0,09	0,11	9	11
0,09	0,11	9	11
0,09	0,11	9	11
0,09	0,11	9	11
0,09	0,11	9	11
0,09	0,11	9	11
0,09	0,11	9	11
0,09	0,11	9	11
0,1	0,11	10	11
0,1	0,12	10	12
0,1	0,12	10	12
0,1	0,12	10	12
0,1	0,12	10	12
0,1	0,12	10	12
0,11	0,12	11	12
0,11	0,12	11	12
0,11	0,13	11	13
0,11	0,13	11	13
0,11	0,13	11	13
0,11	0,13	11	13
0,11	0,13	11	13
0,11	0,13	11	13
0,11	0,13	11	13
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,12	0,14	12	14
0,13	0,14	13	14
0,13	0,14	13	14
0,13	0,14	13	14
0,13	0,15	13	15
0,13	0,15	13	15
0,13	0,15	13	15
0,14	0,15	14	15
0,14	0,15	14	15
0,14	0,15	14	15
0,14	0,16	14	16
0,14	0,16	14	16
0,14	0,16	14	16
0,14	0,16	14	16
0,14	0,16	14	16
0,14	0,16	14	16
0,14	0,17	14	17
0,15	0,17	15	17
0,15	0,17	15	17
0,15	0,17	15	17
0,15	0,18	15	18
0,15	0,18	15	18
0,15	0,18	15	18
0,16	0,18	16	18
0,17	0,18	17	18
0,17	0,2	17	20
0,18	0,23	18	23

80 simulations de 1000 lancers :

1000 lancers
fréquences		%
Obt9	Obt10	Obt9	Obt10
0,091	0,102	9,1	10,2
0,093	0,108	9,3	10,8
0,093	0,109	9,3	10,9
0,094	0,11	9,4	11
0,097	0,112	9,7	11,2
0,098	0,112	9,8	11,2
0,1	0,112	10	11,2
0,101	0,114	10,1	11,4
0,101	0,114	10,1	11,4
0,101	0,114	10,1	11,4
0,101	0,116	10,1	11,6
0,102	0,116	10,2	11,6
0,104	0,116	10,4	11,6
0,104	0,117	10,4	11,7
0,105	0,117	10,5	11,7
0,105	0,117	10,5	11,7
0,105	0,118	10,5	11,8
0,106	0,118	10,6	11,8
0,106	0,119	10,6	11,9
0,106	0,119	10,6	11,9
0,107	0,12	10,7	12
0,107	0,121	10,7	12,1
0,107	0,121	10,7	12,1
0,108	0,121	10,8	12,1
0,109	0,121	10,9	12,1
0,109	0,122	10,9	12,2
0,109	0,122	10,9	12,2
0,109	0,122	10,9	12,2
0,11	0,122	11	12,2
0,11	0,122	11	12,2
0,11	0,123	11	12,3
0,11	0,123	11	12,3
0,111	0,123	11,1	12,3
0,112	0,124	11,2	12,4
0,112	0,125	11,2	12,5
0,112	0,125	11,2	12,5
0,112	0,125	11,2	12,5
0,112	0,125	11,2	12,5
0,113	0,126	11,3	12,6
0,113	0,127	11,3	12,7
0,114	0,127	11,4	12,7
0,114	0,127	11,4	12,7
0,114	0,127	11,4	12,7
0,114	0,128	11,4	12,8
0,114	0,128	11,4	12,8
0,114	0,128	11,4	12,8
0,114	0,128	11,4	12,8
0,116	0,129	11,6	12,9
0,116	0,129	11,6	12,9
0,116	0,129	11,6	12,9
0,117	0,129	11,7	12,9
0,117	0,13	11,7	13
0,118	0,13	11,8	13
0,118	0,13	11,8	13
0,118	0,132	11,8	13,2
0,118	0,133	11,8	13,3
0,119	0,133	11,9	13,3
0,119	0,133	11,9	13,3
0,119	0,133	11,9	13,3
0,12	0,134	12	13,4
0,121	0,134	12,1	13,4
0,121	0,134	12,1	13,4
0,122	0,135	12,2	13,5
0,123	0,135	12,3	13,5
0,123	0,136	12,3	13,6
0,124	0,136	12,4	13,6
0,124	0,137	12,4	13,7
0,124	0,137	12,4	13,7
0,125	0,138	12,5	13,8
0,125	0,138	12,5	13,8
0,125	0,138	12,5	13,8
0,125	0,138	12,5	13,8
0,125	0,14	12,5	14
0,128	0,14	12,8	14
0,129	0,144	12,9	14,4
0,13	0,146	13	14,6
0,131	0,147	13,1	14,7
0,132	0,148	13,2	14,8
0,134	0,149	13,4	14,9
0,14	0,151	14	15,1

80 simulations de 10000 lancers :

10 000 lancers
fréquences		%
Obt9	Obt10	Obt9	Obt10
0,1053	0,1178	10,53	11,78
0,1095	0,1183	10,95	11,83
0,1103	0,1185	11,03	11,85
0,1104	0,1189	11,04	11,89
0,1104	0,1195	11,04	11,95
0,1108	0,12	11,08	12
0,111	0,1203	11,1	12,03
0,1115	0,1205	11,15	12,05
0,112	0,1206	11,2	12,06
0,1122	0,121	11,22	12,1
0,1123	0,1211	11,23	12,11
0,1124	0,1213	11,24	12,13
0,1124	0,1214	11,24	12,14
0,1124	0,1217	11,24	12,17
0,1124	0,1218	11,24	12,18
0,1126	0,1219	11,26	12,19
0,1126	0,122	11,26	12,2
0,1128	0,1223	11,28	12,23
0,1129	0,1224	11,29	12,24
0,113	0,1229	11,3	12,29
0,1131	0,1229	11,31	12,29
0,1132	0,1229	11,32	12,29
0,1132	0,123	11,32	12,3
0,1133	0,1233	11,33	12,33
0,1137	0,1235	11,37	12,35
0,114	0,1235	11,4	12,35
0,1141	0,1236	11,41	12,36
0,1142	0,1238	11,42	12,38
0,1142	0,1238	11,42	12,38
0,1142	0,124	11,42	12,4
0,1145	0,124	11,45	12,4
0,1146	0,1242	11,46	12,42
0,1147	0,1244	11,47	12,44
0,1147	0,1244	11,47	12,44
0,1148	0,1245	11,48	12,45
0,1149	0,1245	11,49	12,45
0,115	0,1246	11,5	12,46
0,115	0,1247	11,5	12,47
0,115	0,1249	11,5	12,49
0,1154	0,125	11,54	12,5
0,1158	0,1251	11,58	12,51
0,1159	0,1251	11,59	12,51
0,1159	0,1252	11,59	12,52
0,116	0,1253	11,6	12,53
0,1164	0,1254	11,64	12,54
0,1165	0,1256	11,65	12,56
0,1166	0,1258	11,66	12,58
0,117	0,126	11,7	12,6
0,1171	0,1262	11,71	12,62
0,1172	0,1263	11,72	12,63
0,1172	0,1269	11,72	12,69
0,1172	0,127	11,72	12,7
0,1172	0,127	11,72	12,7
0,1173	0,1271	11,73	12,71
0,1173	0,1271	11,73	12,71
0,1175	0,1273	11,75	12,73
0,1175	0,1273	11,75	12,73
0,1177	0,1274	11,77	12,74
0,1178	0,1276	11,78	12,76
0,1178	0,1278	11,78	12,78
0,1179	0,128	11,79	12,8
0,118	0,1281	11,8	12,81
0,1182	0,1281	11,82	12,81
0,1182	0,1282	11,82	12,82
0,1183	0,1283	11,83	12,83
0,1183	0,1284	11,83	12,84
0,1185	0,1284	11,85	12,84
0,1188	0,1285	11,88	12,85
0,1189	0,1289	11,89	12,89
0,1191	0,1289	11,91	12,89
0,1191	0,1294	11,91	12,94
0,1196	0,13	11,96	13
0,1196	0,13	11,96	13
0,1198	0,1301	11,98	13,01
0,1198	0,1303	11,98	13,03
0,1201	0,1308	12,01	13,08
0,1207	0,1311	12,07	13,11
0,1218	0,1318	12,18	13,18
0,122	0,1328	12,2	13,28
0,1227	0,1331	12,27	13,31