Ce n°3 des Propositions du GEM a été publié en 1981.
Peu d’élèves du secondaire s’approprient les vecteurs au point de pouvoir les utiliser pertinemment dans des problèmes. Un vecteur, c’est cet outil en forme de segment orienté, tellement souple qu’on peut l’accrocher n’importe où et qui se prête au calcul. On en a parfois une vue figée : sorte de bouquet de segments impossibles à décrocher de leur origine commune.
En un autre sens, l’outil vectoriel c’est aussi l’algèbre linéaire : la structure d’espace vectoriel embraie comme instrument de raisonnement sur toutes sortes de modèles. Mais cette fonction n’apparaît pas bien aux débutants, eux qui, par la force des choses, ne rencontrent que peu de modèles.
Or il est possible de mettre le vecteur au travail dès le moment où on le conçoit.
Dans le premier chapitre de cette brochure, nous partons de quelques théorèmes de composition de transformations affines du plan. Sur le chantier des démonstrations de ces théorèmes, nous “libérons le segment de son origine” et le pourvoyons progressivement de certaines propriétés de calcul, le tout pour en faire un outil conceptuel commode dans les démonstrations.
Si les élèves connaissent par avance des démonstrations (non vectorielles) des théorèmes envisagés, le travail revient à traduire ces raisonnements dans un nouveau langage dont on fixe les règles pour aboutir au résultat attendu.
S’ils n’en connaissent pas de démonstrations, alors on met au point simultanément le concept vectoriel et la démonstration (et qui plus est parfois l’énoncé du théorème !) en les éclairant l’un par l’autre. On bouleverse ainsi l’ordre habituel qui va des définitions aux énoncés et de ceux-ci à leur démonstration.
Il en résulte un beau mic-mac ! Mais faire des maths, c’est résoudre des problèmes, produire du rationnel à partir d’irrationnel. La clarté n’est pas un préalable mais un objectif. Il nous semble que les élèves mordent plus fort quand on les implique ainsi dans l’élaboration d’une théorie.
Une fois le vecteur mis au point, on s’en sert pour résoudre de nouveaux problèmes de géométrie.
Dans le second chapitre, on s’inspire de l’idée stimulante d’analogie pour construire l’isomorphisme entre l’ensemble des vecteurs géométriques et R² : on code les vecteurs et on met au point un calcul sur les codes qui fonctionne parallèlement au calcul sur les vecteurs.
Le troisième chapitre fait sentir ce qu’est une base par des exercices du type suivant : construire un vecteur donné en combinant linéairement d’autres vecteurs donnés.
Table des matières
Introduction
Chapitre 1 : Les variations de position et leurs propriétés
1. Structure linéaire ou vecteurs géométriques
2. Conceptualiser sur le tas
3. Premier problème : Composer deux symétries orthogonales d’axes parallèles
4. Deuxième problème : Composer deux symétries centrales
5. Troisième problème : Composer deux homothéties de même centre
6. Quatrième problème : Composer une homothétie et une translation
7. Exercices
Chapitre 2 : Les codages
Chapitre 3 : les bases