Ouvrages plus anciens

L’apprentissage des concepts d’analyse interfère inévitablement avec des intuitions partagées par la plupart des élèves. Si certaines d’entre elles peuvent être le germe de développements plus formels, tout comme elles l’ont été dans l’histoire des mathématiques, d’autres, par contre, s’opposent à la théorie établie. Trop souvent, l’enseignement a pour effet de juxtaposer une théorie à ces intuitions sans ni s’appuyer sur les premières, ni corriger les secondes. Le projet AHA (approche heuristique de l’analyse) vise à remédier à cette situation : il part des intuitions communes sur les pentes, les vitesses, les aires… pour construire pas à pas les concepts de l’analyse. En ce sens, l’approche est heuristique.

Le manuel est destiné aux élèves des deux dernières années de l’enseignement secondaire (du lycée) et du début du supérieur. Les concepts de fonction, de dérivée, d’intégrale, de limite y évoluent à travers une suite de problèmes. Ceux-ci sont résolus de manière à mettre en évidence les conjectures initiales, les doutes et même parfois les erreurs ou les fausses pistes. Le langage est volontairement dénué de formalisme superflu, pour rendre la lecture accessible au plus grand nombre. Des synthèses et des mots clés reprennent à la fin de chaque chapitre ce qui doit être fixé par l’élève pour le préparer à un exposé plus déductif.

Le guide méthodologique commente, à l’intention du professeur, les intentions globales du projet, les enjeux épistémologiques et les aménagements didactiques possibles en fonction du nombre d’heures de mathématiques suivi par les élèves. Il comprend aussi la résolution complète de quelques exercices choisis.

Les fractions sont un des premiers et principaux terrains où se développent le dégoût des mathématiques et la conviction, à peu près toujours fausse, que l’on est incapable de cette activité « réservée aux plus intelligents ».
Alors pourquoi ont-ils inventé les fractions, si elles font tant de mal ? C’est qu’elles sont une clé des partages de grandeurs, des rapports et donc des mesures, des proportions, des figures semblables, des probabilités, du calcul des exposants, des notations algébriques…

Cet ouvrage s’adresse aux grands élèves, aux parents, aux enseignants, à toutes les personnes qui voudraient, en partant du bon sens et de l’univers quotidien, reconstruire leur savoir en s’appuyant à chaque pas sur le pourquoi des choses. Et reprendre en chemin confiance dans leur capacité à comprendre les mathématiques, à en apprécier la pertinence, le sens et la beauté.

Marysa Krysinska, Géométrie dans l’espace, géométrie de l’espace, Coédition GEM-Académia Erasme, 2ème éd., 1998, 117 pages, ISBN 2-87209-518-7.

La géométrie de l’espace est présentée à partir de questions relatives à des ombres de polyèdres, des sections de polyèdres par un plan, des recherches de la perpendiculaire commune à deux droites en positions diverses, etc. L’ouvrage se termine par une mise en ordre déductif des propriétés principales relevées au cours du travail. Certaines sections comparent les méthodes qui s’appuient sur la géométrie dite synthétique, sur les transformations, ainsi que sur les vecteurs et le produit scalaire.

Ginette Cuisinier, Dany Legrand, Jacqueline Vanhamme, Géométrie de l’espace par le biais de l’ombre à la lampe, Coédition GEM-Académia-Erasme, 1995, 86 pages, ISBN 2-87209-374-5.

L’ombre à la lampe d’une forme en carton sur un mur est une source de problèmes géométriques simples, mais dont la résolution nécessite une sérieuse réflexion. Ce livre destiné aux professeurs, contient des fiches pour les élèves et des solutions et commentaires à l’usage des professeurs. Il est bâti suivant une double démarche. Dans un premier temps, les problèmes sont proposés. Durant leur résolution, certaines propriétés de l’espace sont rencontrées et collectées. Dans un deuxième temps, les élèves sont amenés à ébaucher, au départ de ce matériau, un début de théorie axiomatique de la géométrie de l’espace. Cette double démarche permet d’exercer à la fois l’intuition, la vision dans l’espace et la rigueur d’un raisonnement plus formel. Expérimentée avec des élèves de classe de cinquième et sixième tant de l’enseignement technique et professionnel que dans l’enseignement général, en adaptant la démarche aux élèves concernés, elle a fait preuve d’efficacité.

Faire des mathématiques au sens propre du terme, les construire, les fabriquer, s’engager dans un processus de production comparable à celle du mathématicien qui forge des concepts nouveaux, tel est l’objectif des problèmes proposés dans ces manuels. Chaque manuel comprend deux parties.

Une première partie de ces ouvrages se présente comme une alternance de questions et de propositions de réponses. Elle permet deux types d’activité, à savoir:
– travailler les questions à livre fermé, pour apprendre à chercher, seul et en groupe, à améliorer sa capacité de penser mathématiquement;
– prendre connaissance de réponses, les confronter à sa propre recherche et s’exercer à lire en mathématiques.

La deuxième partie des manuels contient la théorie construite dans la première partie.

Quels qu’aient été vos rapports passés – bons, moins bons ou nettement moins bons – avec les mathématiques, vous lirez avec intérêt dans ce petit ouvrage les questions inventées par des enseignants pour donner du sens à cette discipline, le rôle qu’ils attribuent aux questions ouvertes, aux concepts, au calcul, à leurs recherches et à celles des élèves. Vous apprendrez à quoi servent les mathématiques, à quoi elles peuvent vous servir, ce que les gens en pensent, et aussi pourquoi les mathématiques, qui ont une histoire, la cachent le plus souvent.

Si vous vous intéressez un peu aux maths, lisez ce livre : il vous fera réfléchir. Sinon, lisez-le aussi, et peut-être vous amènera-t-il à vous y intéresser…

Ce livre a été initialement édité par les Éditions Talus d’approche, entre 1997 et 2005 (ISBN 2-87246-060-8) avant d’être mis en libre accès avec les accords des auteurs et des ayant droits. Le texte intégral est téléchargeable au format PDF  : Oh, moi les maths .

Proposition 20 : De la géométrie synthétique à la géométrie analytique dans l’espace,
50 pages, 2011.

Cette brochure s’appuie sur l’idée que, pour l’apprentissage de la géométrie, il y a tout à gagner à associer le point de vue synthétique aux points de vue vectoriel et analytique.

L’ intention est de confronter les élèves le plus possible avec la visualisation à trois dimensions des situations proposées.

Ce projet, conçu pour le cours de mathématiques à 4 périodes/semaine, est à développer de manière plus ou moins approfondie par le professeur en fonction du niveau de sa classe. Il peut ainsi servir de point de départ pour un cours de 6 périodes/semaine.

La gauche et la droite, c’est plus subtil que le dessus et le dessous. Certains objets sont identiques à leur image dans un miroir, d’autres non. Avec des morceaux d’un carré découpé suivant ses diagonales, on peut faire deux carrés plus petits. On peut faire un carrelage avec des carrés, aussi avec des hexagones réguliers, mais pas avec des pentagones réguliers.

La géométrie prend sa source dans des phénomènes de ce genre, et non dans la litanie des sortes de triangles et de quadrilatères. Pas non plus dans les points si petits qu’on ne sait trop s’ils existent et les droites infiniment fines et longues.

Cet ouvrage montre le début du chemin qui va des phénomènes quotidiens intrigants jusqu’à l’endroit où la géométrie, ayant rassemblé assez de matériaux divers, est en appel d’une mise en ordre systématique. A ce moment-là, les points si petits et les droites si longues prennent tout leur sens.

Les enseignants et futurs enseignants, les formateurs d’enseignants et toutes les personnes curieuses des origines de la géométrie seront vivement intéressés par cet ouvrage substantiel.

M. de Terwangne, C. Hauchart, F. Lucas, Oser les fractions dans tous les sens, De Boeck éd., août 2007, 304 pages.

Les fractions posent problème à beaucoup d’élèves. Trop souvent, on se contente alors d’apprendre à exécuter des calculs sans trop savoir pourquoi, … et les fractions restent perçues comme quelque chose de difficile et d’abstrait. Les auteurs de cet ouvrage proposent ici des activités qui ancrent dès le début la notion de fraction dans des contextes variés et concrets.

Les trois premières séquences d’activités, écrites par M. de Terwangne et C. Hauchart, amènent à partager en deux diverses grandeurs, avec ou sans mesures, à rencontrer des fractions par diverses activités de puzzles, et à communiquer à leur propos. Des fractions équivalentes et des additions de fractions y apparaissent de manière tout à fait naturelle et non formelle.

Avec les quatre activités suivantes, rédigées par F. Lucas, les enfants sont invités à découvrir et visualiser des fractions-rapport, à revisiter la fraction-partage, à découvrir un lien entre figures semblables et rapports et enfin à rechercher un dénominateur commun pour additionner des fractions.

Ce guide, essentiellement destiné aux instituteurs, est une alternative intéressante pour ceux qui perçoivent que les fractions sont beaucoup trop abstraites … sans compter qu’au travers de ces activités, on apprend aussi bien autre chose que les fractions !

Pour comprendre les mathématiques de l’école primaire et comprendre à quelles questions elles répondent, il est bon de faire d’abord table rase de ses connaissances acquises. Ceci fait, on peut reconstruire pas à pas les nombres, les grandeurs, les proportions et les premières notions à partir des questions les plus élémentaires et jusqu’aux concepts plus élaborés techniquement. Dans ce premier volume, on va, par généralisations successives, des nombres naturels et des grandeurs non encore mesurées vers les mesures et donc vers les fractions et les décimaux. La proportionnalité joue un rôle cle dans cette construction.

Ce livre a été écrit par un groupe d’enseignants de mathématiques (le GEM) de Louvain-la-Neuve. Ils ont joué le jeu de reconstruire leurs connaissances les plus élémentaires. Ils ont fait relire leurs brouillons par des instituteurs et aussi par des personnes ayant perdu tout contact avec les mathématiques. Les observations de ces lecteurs exigeants leur a permis d’améliorer singulièrement la clarté de leur exposé.

Vous a-t-on déjà dit que les droites parallèles se rencontrent à l’infini ? Que certains nombres ont une écriture décimale illimitée qui ne répond à aucune régularité ? Que dans un mètre seulement, on peut aligner une infinité de segments ?

Mais que signifient ces infinis que l’on rencontre en mathématiques, notamment dans les nombres, en analyse, en géométrie ? Où se situe l’infini ? Peut-on le voir ? Est-il réel ou fictif ? Sert-il à quelque chose ou est-il seulement une marotte de mathématicien ?
L’infini est en fait le pain quotidien des mathématiciens. Il suffit de penser au calcul des limites pour voir qu’on le rencontre sans plus s’en étonner. Pourtant, il est plein de mystère et source de paradoxes qui valent la peine d’être rencontrés, pour mieux comprendre les mathématiques qui le mettent en scène.
Ce livre présente des mathématiques liées à l’infini, à travers une suite de problèmes qui provoquent l’imagination et le questionnement. On y parcourt le chemin parsemé d’embûches qui va de la pensée commune vers les mathématiques.

Béatrice Colon, Ginette Cuisinier, Ingrid Dejaiffe, Dany Legrand, Une approche mathématique de la cartographie, GEM éd. 2001, 130 pages.

Comment représenter le globe terrestre ? Pourquoi les lignes de l’Atlantique passent-elles par des parallèles si nordiques ? Comment étudier les transformations de la sphère à la carte? Comment construire une carte de Mercator ? Dans ce livre sont proposés, sur ce thème, des questions accessibles à des élèves du secondaire. Beaucoup d’entre elles permettent une première approche intuitive. Certaines peuvent être résolues au moyen d’outils de géométrie plane ou de trigonométrie élémentaire, d’autres sont plus complexes, mais toutes fournissent des occasions d’appliquer des connaissances mathématiques dans un contexte concret intéressant.

“Le soleil est si grand par rapport à la terre que, s’il devait passer entre le terre et la lune -sans les déplacer- sa grosseur l’en empêcherait : car son diamètre est beaucoup plus grand que la distance de la terre à la lune”.

Cet ouvrage nous aide, au moyen d’images parlantes comme celle qui figure en couverture, à pénétrer dans l’univers quotidien de la mathématique.

Emboîter des poupées japonaises, mettre deux baguettes bout à bout, couper une pomme en deux, c’est manier des grandeurs. Dans l’esprit de chaque enfant, les nombres (autres que naturels) se construisent par étapes à partir de ces opérations familières. L’auteur explique cette genèse, et donne des clés d’interprétation à tous ceux qui, de l’école maternelle à la fin du secondaire, enseignent les grandeurs, les rapports, les fractions et les nombres rationnels, les mesures et les unités, les décimaux, les proportions, les fonctions linéaires… Il traite aussi des relations parfois délicates entre les mathématiques naissantes et la langue quotidienne. Grâce à de nombreuses notices historiques, il éclaire par le passé les difficultés des enfants d’aujourd’hui.

Le livre est immédiatement accessible au lecteur qui aurait beaucoup oublié des mathématiques de l’école secondaire. Les quarante dernières pages sont consacrées à un traitement axiomatique du sujet.

L’enseignement de l’analyse aux débutants pose de nombreux et importants problèmes parmi lesquels on trouve : la difficulté intrinsèque des concepts, l’équilibre à trouver entre la théorie, les applications et les routines, les possibilités numériques liées à la généralisation des moyens de calcul rapide, le rôle éventuel de l’analyse non standard, l’opportunité d’une perspective historique, … sans compter qu’il y a débutants et débutants, selon leur tempérament et leur destination intellectuelle et professionnelle.

Quelques personnes particulièrement préoccupées pas l’enseignement de l’analyse font le point sur l’évolution de leurs réflexions et de leur pratique à ce sujet.

Cet ouvrage rassemble sept exposés faits le 16 mars 1991 à Namur (Belgique) dans le cadre d’un colloque organisé par l’aile francophone du Comité belge de la Commission Internationale sur l’instruction Mathématique.

Tous les élèves apprennent des mathématiques, sous la conduite dans chaque pays de dizaines de milliers d’enseignants. Beaucoup y échouent, soit aux examens, soit qu’après l’école ils « oublient tout » et deviennent des analphabètes mathématiques. _ Les « maths modernes », réforme radicale, ont tenté de redresser la situation. Sans grand succès. Aujourd’hui, on tâtonne. Certaines idées sont prometteuses : les situations-problèmes, la construction du savoir… Mais travailler ainsi, est-ce vraiment faire des mathématiques ? Ces méthodes sont-elles praticables par les maîtres et les élèves d’aujourd’hui ? Préparent-elles utilement les citoyens à la civilisation de demain ? Autant de questions auxquelles ce livre, fruit de dix années de réflexion, tente de répondre.

Il situe les « maths modernes » autant par rapport à l’histoire séculaire des mathématiques que dans le contexte économique et social des années 50 à 80.
Il étudie les formes du travail mathématique. Quelles fonctions y jouent l’axiomatique, le formalisme, la théorie ? Quel est le rôle de la géométrie ? Existe-t-il en mathématiques une pratique expérimentale ? Comment les erreurs (des chercheurs ou des élèves) jouent-elles un rôle positif ?

Il analyse la construction des concepts et pose le problème de la réussite et de l’échec en mathématiques.

Une même question traverse tout le livre : celle du sens. Y a-t-il plusieurs formes de sens en mathématiques ? Au-delà de leur contenu propre, les mathématiques sont-elles porteuses d’un sens culturel et social ? Finalement : pourquoi faire des mathématiques ? Avant tout pour le plaisir de faire des mathématiques. Le plaisir du sens.

Thérèse Gilbert, La perspective en questions, Coédition GEM CIACO, 1987, 200 pages, ISBN 2-87085-114-6.

Suite de problèmes gradués pour apprendre par soi-même, en dessinant et en réfléchissant, la perspective à point de fuite. Les solutions des problèmes sont données en détail. Au passage, le lecteur apprend les éléments utiles de la géométrie de l’espace. La perspective est précisément un thème intéressant pour apprendre un peu de géométrie de l’espace à des élèves, en leur offrant des objets moins banals que des droites et des plans. La perspective dans les peintures est abordée au passage et l’ouvrage se termine par une analyse des rapports entre perspective et vision: quelle est la valeur de la perspective comme système de représentation.

L’infini, déjà présent dans la suite des naturels et des décimaux périodiques, est incontournable. Ce livre présente vingt-cinq problèmes relatifs à des suites ou des séries d’objets géométriques, de mouvements, de nombres, etc. Problèmes intrigants dont certains peuvent être posés à des élèves de douze ans et qui tous font réfléchir n’importe quel lecteur. Partant de ces problèmes et après de multiples expérimentations, les auteurs analysent l’émergence et la lente maturation non seulement des concepts de suite, série, limite, décimal périodique, majoration minoration, récurrence,… mais aussi de l’idée de modèle mathématique, de l’aptitude à démontrer, et plus généralement de ce qui fonde l’aptitude à penser mathématiquement.