De la géométrie synthétique à la géométrie analytique

Table des matières

1 Introduction

2 La perpendicularité dans l’espace

3 Repérer des points dans l’espace

4 Vecteurs et produit scalaire

5 Equations des droites et des plans

Introduction

En cinquième année, le produit scalaire des vecteurs du plan et de l’espace permet d’aborder des questions de distance, d’orthogonalité et de mesure d’angle. C’est la raison pour laquelle le point de vue vectoriel gagne
à être associé au point de vue synthétique. En sixième année, la géométrie
analytique ou vectorielle des plans et des droites, et son interprétation en
termes de systèmes d’équations linéaires achève, avec les mots de Sophie
Germain, de mettre en valeur que « l’algèbre est la géométrie écrite et la
géométrie est de l’algèbre visuelle ».

Percevoir des situations spatiales est une réelle difficulté pour un certain
nombre d’élèves qui ne « ne voient pas dans l’espace ». C’est peut-être une
des raisons pour lesquelles le cours de géométrie dans l’espace est parfois pratiquement réduit à un cours d’algèbre. Pourtant, il paraît dommage que certaines notions importantes, comme la perpendicularité par exemple, soient traitées directement en analytique, avec peu ou pas de contenu synthétique.

Notre intention est de confronter le plus possible l’élève avec la visualisation à trois dimensions des situations proposées. Pour cela, nous commençons par des situations où les objets étudiés sont dans des positions privilégiées : les perceptions et les intuitions spatiales sont plus aisées quand les objets sont « bien positionnés » par rapport aux directions verticale et horizontale. Ensuite, nous mettons en évidence ce qu’apporte l’écriture vectorielle. Nous veillons à maintenir le lien avec la géométrie synthétique même après que l’outil vectoriel ait été installé. Enfin, nous traitons l’essentiel de la géométrie analytique de l’espace.

Ce projet, conçu pour le cours de mathématiques 4 périodes/semaine,
est à développer de manière plus ou moins approfondie par le professeur
en fonction du niveau de sa classe. Il peut aussi servir de point de départ
pour un cours de 6 périodes/semaine, complété par exemple par du calcul
matriciel.
Ce travail est initialement inspiré par les idées et la pratique en classe de
Mariza Krysinska. Que ce soit par leur réflexion en sous-groupe du GEM ou par leur expérimentation en classe, Anne Bélanger, Pierre Bolly, Cécile Marchand ont aussi contribué à ce travail. Qu’ils en soient tous remerciés.

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