Le théorème de Thalès par les aires de parallélogrammes

Un article du GEM 10-15.

Public : 14 – 15 ans

Théorème de Thalès dans un triangle.


Une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base si et seulement si elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

Thales.png

Autrement dit, étant donné un triangle ACC’, un point B appartenant à [AC] et un point B’ appartenant à [AC’], les droites BB’ et CC’ sont parallèles, si et seulement si

$$\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B’C’}}{\overline{B’A}}}.$$

Démonstration par les aires de parallélogrammes

L’idée de cette démonstration, qui s’inspire de celle d’EUCLIDE (Les Eléments, proposition 2 du livre VI) est due, à notre connaissance, à Françoise VAN DIEREN.

Première partie.

On suppose d’abord BB’ et CC’ parallèles. On veut en déduire que $\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B’C’}}{\overline{B’A}}.$

Plaçons un point quelconque F, différent de A, sur la droite parallèle à BB’ passant par A. Construisons les parallélogrammes AFDC et AFD’C’. La droite BB’ les coupe chacun en deux parallélogrammes.

ThalesParallelogramme.png

On a successivement

$$\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{Aire BCDE}{Aire ABEF}},$$

car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases,

$$\small{\frac{Aire BCDE}{Aire ABEF}=\frac{Aire B’C’D’E’}{Aire A’B’E’F’}}$$

car deux parallélogrammes de même base ([BE], [AF] et [B’E’] ont même longueur) et de même hauteur ont même aire,

$$\small{\frac{AireB’C’D’E’}{AireA’B’E’F’}=\frac{\overline{B’C’}}{\overline{B’A}}},$$

car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases.

Finalement ces trois égalités permettent de déduire que

$$\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B’C’}}{\overline{B’A}}}.$$

Pour animer la figure suivante, bougez le point Mob.

Deuxième partie.

On suppose maintenant que $\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B’C’}}{\overline{B’A}}.$ On veut en déduire que BB’ et CC’ sont parallèles.

Plaçons un point quelconque F, différent de A, sur la droite parallèle à BB’ comprenant A. Construisons les parallélogrammes AFDC et AFD’C’. La droite BB’ les coupe chacun en deux parallélogrammes. Remarquons qu’on ne sait pas si D et D’ sont alignés avec C et C’ puisqu’on n’a pas encore montré que CC’ est parallèle à BB’.

Image_1-3.png

Par hypothèse, $$\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B’C’}}{\overline{B’A}}}.$$

Par ailleurs

$$\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{AireBCDE}{AireABEF}} \ \text{ et } \ \small{\frac{AireB’C’D’E’}{AireA’B’E’F’}=\frac{\overline{B’C’}}{\overline{B’A}}},$$

car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases,

On en déduit que

$$\small{\frac{AireB CDE}{Aire ABEF}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}} = \frac{\overline{B’C’}}{\overline{B’A}}=\frac{AireB’C’D’E’}{AireA’B’E’F’}},$$

et donc
$$\small{\frac{AireB CDE}{Aire ABEF}=\frac{AireB’C’D’E’}{AireA’B’E’F’}}.$$

ThalesParallelogramme2.png

De plus, comme les parallélogrammes ABEF et AB’E’F ont la même base ([BE], [AF] et [B’E’] sont même longueur) et la même hauteur, ils ont la même aire. Donc les parallélogrammes BCDE et B’C’D’E’ ont aussi la même aire. Comme ils ont de plus des bases [BE] et [B’E’] de même longueur, ils ont forcément même hauteur.
Autrement dit, CC’ est parallèle à BB’.


Activités en amont

Activité sur des familles de parallélogrammes à 12 – 14 ans
Activité sur de comparaison et déformation de figures à 12 – 14 ans
Une activité pour découvrir la démonstration du théorème de Thalès par les aires des parallélogrammes.

Instruments de pensée

Mouvement, déformation de figures et familles de figures
Changement de point de vue
Isoler par la pensée
Évoquer une situation intermédiaire

 

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