Le théorème de Thalès par les aires de parallélogrammes

Public : 14 – 15 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

Voici l’énoncé du théorème de Thalès dans un triangle.


Une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base si et seulement si elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

Thales.png

Autrement dit, étant donné un triangle ACC’, un point B appartenant à [AC] et un point B’ appartenant à [AC’], les droites BB’ et CC’ sont parallèles, si et seulement si

$$footnotesize fracoverlineBCoverlineBA=fracoverlineB’C’overlineB’A.$$


Démonstration par les aires de parallélogrammes

L’idée de cette démonstration, qui s’inspire de celle d’EUCLIDE (Les Eléments, proposition 2 du livre VI) est due, à notre connaissance, à Françoise VAN DIEREN.

Première partie.

On suppose d’abord BB’ et CC’ parallèles. On veut en déduire que

$footnotesize fracoverlineBCoverlineBA=fracoverlineB’C’overlineB’A.$

Plaçons un point quelconque F, différent de A, sur la droite parallèle à BB’ passant par A. Construisons les parallélogrammes AFDC et AFD’C’. La droite BB’ les coupe chacun en deux parallélogrammes.

ThalesParallelogramme.png

On a successivement
$$small fracoverlineBCoverlineBA=
fracmboxrm Aire BCDE mboxrm Aire ABEF, $$
car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases,
$$small fracmboxrm Aire BCDE mboxrm Aire ABEF=
fracmboxrm Aire B’’ C’’ D’’ E’ mboxrm Aire AB’’ E’’ F, $$
car deux parallélogrammes de même base ([BE], [AF] et [B’E’] ont même longueur) et de même hauteur ont même aire,
$$small
fracmboxrm Aire B’’ C’’ D’ ‘E’ mboxrm Aire AB’’ E’’ F =
fracoverlineB’C’overlineB’A,$$
car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases.

Finalement ces trois égalités permettent de déduire que
$$small
fracoverlineBCoverlineBA=
fracoverlineB’C’overlineB’A.$$

Pour animer la figure suivante, bougez le point Mob.

Deuxième partie.

On suppose maintenant que

$fracoverlineBCoverlineBA=fracoverlineB’C’overlineB’A.$ On veut en déduire que BB’ et CC’ sont parallèles.

Plaçons un point quelconque F, différent de A, sur la droite parallèle à BB’ comprenant A. Construisons les parallélogrammes AFDC et AFD’C’. La droite BB’ les coupe chacun en deux parallélogrammes. Remarquons qu’on ne sait pas si D et D’ sont alignés avec C et C’ puisqu’on n’a pas encore montré que CC’ est parallèle à BB’.

Image_1-3.png

Par hypothèse, $$fracoverlineBCoverlineBA=fracoverlineB’C’overlineB’A.$$

Par ailleurs $$small fracoverlineBCoverlineBA=
fracmboxrm Aire BCDE mboxrm Aire ABEF mbox rm et
fracmboxrm Aire B’C’D’E’ mboxrm Aire AB’E’F =
fracoverlineB’C’overlineB’A,$$


car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases,

On en déduit que
$$fracmboxrm Aire BCDE mboxrm Aire ABEF = fracoverlineBCoverlineBA =
fracoverlineB’C’overlineB’A =
fracmboxrm Aire B’’C’’D’’E’ mboxrm Aire AB’’E’’F, $$

et donc
$$small fracmboxrm Aire BCDE mboxrm Aire ABEF=
fracmboxrm Aire B’’C’’D’’E’ mboxrm Aire AB’’E’’F. $$

ThalesParallelogramme2.png

De plus, comme les parallélogrammes ABEF et AB’E’F ont la même base ([BE], [AF] et [B’E’] sont même longueur) et la même hauteur, ils ont la même aire. Donc les parallélogrammes BCDE et B’C’D’E’ ont aussi la même aire. Comme ils ont de plus des bases [BE] et [B’E’] de même longueur, ils ont forcément même hauteur.
Autrement dit, CC’ est parallèle à BB’.

Activités en amont

Activité sur des familles de parallélogrammes à 12 – 14 ans

Activité sur de comparaison et déformation de figures à 12 – 14 ans

Une activité pour découvrir la démonstration du théorème de Thalès par les aires des parallélogrammes.

Instruments de pensée

Mouvement, déformation de figures et familles de figures

Changement de point de vue

Isoler par la pensée

Evoquer une situation intermédiaire

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