Partages d’aires à 12 – 14 ans

Pour partager le carré en 12 parts de même aire, on peut d’abord penser à partager le carré en 4 parts égales suivant ses diagonales.

On peut ensuite couper chaque triangle en trois parts de même aire : il suffit alors de couper leur base en trois parts égales pour obtenir des triangles de même base et de même hauteur, donc de même aire.

Pour partager le carré en 6 parts de même aire, il suffit de grouper les petits triangles deux par deux.

Mais comment couper en cinq parts de même aire ?

Pour couper en 6, on s’est servi du partage en 12 qui était plus facile parce qu’il suffisait de partager les côtés en trois parts égales.

Pour couper en 5, on pourrait d’abord partager le carré en 20 parts de même aire en suivant le même principe que précédemment : on partage chaque côté en 5 parts égales. Ensuite il suffit de grouper les triangles quatre par quatre pour obtenir cinq parts de même aire.

Remarquons que, finalement, il suffit de diviser le périmètre en cinq parts de même longueur et de rejoindre les points de partage au centre. Ceci peut aussi se comprendre à l’aide de la figure suivante : l’aire du carré, comme celle de tout polygone régulier est égale à celle d’un triangle dont la base est le périmètre du carré (du polygone régulier) et la hauteur son apothème.
Le rapport de l’aire grisée à l’aire totale égale le rapport des bases des triangles, donc égale le rapport de la partie P’ du périmètre au périmètre total P. A chaque part de périmètre (par exemple un cinquième) correspond une figure dont l’aire représente la même part de l’aire totale (par exemple un cinquième).

Pouvons-nous appliquer au rectangle la méthode découverte à propos du carré ? Essayons toujours. Les diagonales partagent-elles le rectangle en quatre parts de même aire ?

En tout cas, les parts ne sont pas superposables. Mais peut-être sont-elles de même aire. On peut effectivement s’en persuader en traçant les médianes du rectangle et en voyant apparaître huit triangles superposables.

Pour partager le rectangle en douze parts de même aire ou en six (respectivement en cinq), on peut donc découper chacun des quatre triangles en trois (respectivement en cinq). On obtient ainsi 12 parts de même aire (respectivement 20). Pour obtenir six parts (respectivement cinq), on groupe les petits triangles deux par deux (respectivement par quatre).

Notons que pour partager en cinq, il ne suffit plus ici de partager le périmètre en cinq et de rejoindre les points de partage au centre, car la distance du centre aux côtés n’est pas constante.