Vers une démonstration du théorème de Pythagore par les aires des parallélogrammes

Il s’agit de retrouver les arguments d’une démonstration du théorème de Pythagore à partir d’une série de figures. Cette démonstration, inventée par Hermann Baravalle en 1945, fait intervenir une famille de parallélogrammes.

Public : 14 – 15 ans.

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a) Sans rien mesurer, construisez sur [MR] un parallélogramme de même aire que le rectangle MNOP.
b) Sans rien mesurer, construisez sur [MR] un rectangle de même aire que le rectangle MNOP.

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Solutions
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a) On peut évoquer une famille de parallélogrammes de même aire ou la formule d’aire du parallélogramme et déformer le rectangle en prenant le côté [PM] comme base en conservant la hauteur correspondante.

On peut aussi construire le parallélogramme « au-dessus » de [MR].

b) Ensuite, pour construire le rectangle demandé, il faut changer de point de vue et prendre MR] comme base en conservant la hauteur correspondante. On peut à nouveau évoquer une [famille de parallélogrammes de même aire, la formule d’aire du parallélogramme ou encore le fait de composer et décomposer.

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Les rectangles ABCD et EFGD ont la même aire. Vérifiez-le sans rien mesurer mais en construisant un parallélogramme qui a clairement la même aire que ces deux rectangles.

Solutions

On construit un parallélogramme de même aire que ces deux rectangles. On montre l’égalité d’aire en évoquant les mêmes arguments que précédemment.


Voici l’énoncé du théorème de Pythagore.

La somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit d’un triangle rectangle est égale à l’aire du carré construit sur son hypoténuse.

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Il faut démontrer que, sur la figure ci-dessus, la somme des aires des carrés bleus égale l’aire du carré gris.

Voici les représentations de quatre étapes d’une démonstration du théorème de Pythagore, attribuée à Hermann Baravalle (1945). Retrouvez-en les arguments.

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Solutions

Voir la démonstration du théorème de Pythagore par les aires des parallélogrammes

Activités en amont

Activité sur des familles de parallélogrammes à 12 – 14 ans
Activité sur de comparaison et déformation de figures à 12 – 14 ans

Contenu visé

Une démonstration du théorème de Pythagore par les aires des parallélogrammes

Instruments de pensée

Mouvement, déformation de figures et familles de figures
Changement de point de vue
Isoler par la pensée
Évoquer une situation intermédiaire

 

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