Somme des amplitudes des angles dans un triangle

Sont repris ici l’énoncé et une démonstration de la propriété des angles dans un triangle.

Public : 13-14 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

Propriété

Dans tout triangle, la somme des amplitudes des angles intérieurs égale 180°.

Démonstration.

Soit le triangle ABC. Traçons une droite a parallèle au côté [BC] du triangle et comprenant le point A. Cette droite détermine des angles A1, A2 et A3 qui forment ensemble un angle plat ; on peut donc écrire que

A1 + A2 + A3 = 180°.

Or, on voudrait prouver que

B + A2 + C = 180°.

284SommeAngles.png

Les angles B et A1 sont de même amplitude car ce sont des angles alternes internes déterminés par les parallèles a et BC et la sécante AB. On obtient l’égalité suivante : B =A1.

Les angles C et A3 sont également alternes internes déterminés par les parallèles a et BC et la sécante AC et sont donc de même amplitude. On a C =A3.

Dès lors, en remplaçant l’angle
A1
par l’angle B
et l’angle A3
par l’angle C
dans l’égalité

A1 + A2 + A3 = 180°,

on obtient une nouvelle égalité :

B + A2 + C = 180°.

Ce qu’il fallait démontrer.

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