Le théorème de Pythagore par les aires des triangles

Voici la démonstration du théorème de Pythagore d’Euclide (Les Eléments, Livre 1, Proposition 47).

Public : 14 – 15 ans.

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

Le Théorème de Pythagore

Pour tout triangle rectangle, la somme des aires des carrés construits sur les côtés de l’angle droit est égale à l’aire du carré construit sur l’hypoténuse.

Pythagore-Euclide0.png

Démonstration

Considérons un triangle ABC rectangle en C et les carrés construits sur ses côtés.
Construisons J et K sur la parallèle à AH passant par C et tels que AJKH soit un rectangle.

Pythagore-Euclide-Tout-1.png

Nous allons montrer que le carré AEDC a même aire que le rectangle AJKH et que le carré CBFG a même aire que le rectangle BJKI.

Les trianglesAEC et AEB ont même base $overlineAE$ et même hauteur $overlineAC$, car les droites BC et EA sont parallèles puisqu’elles sont toutes deux perpendiculaires à AC. Les triangles AEC et AEB ont donc même aire.

Le triangle ACH est l’image du triangle AEB par la rotation de 90° de centre A. En effet, en appliquant cette rotation, l’image de [AE] est [AC] et l’image de [AB] est [AH]. Ces deux triangles ont donc même aire.

Les triangles ACH et AJH ont même base $overlineAH$ et même hauteur $overlineAJ$ puisque KC (ou KJ) est parallèle à AH. Ces deux triangles ont donc même aire.

Finalement les triangles AEC et AJH ont la même aire, qui est la moitié de, respectivement, celle du carré AEDC et celle du rectangle AJKH.

Pythagore-Euclide-Tout2.png

On peut montrer de la même façon que le carré CBFG a même aire que le rectangle BJKI :

– les triangles BFC et BFA ont même base $overlineBF$ et même hauteur $overlineBC$,

– le triangle BCI est image de BFA par une rotation de centre B,

– et enfin les triangles BCI et BJI ont même base $overlineBI$ et même hauteur $overlineBJ$.

La somme des aires des carrés AECD et CBFG est égale à celle des aires des rectangles AJKH et BJKI, soit à l’aire du carré ABIH.

Activités en amont

Vers la démonstration du théorème de Pythagore par les aires des triangles

Instruments de pensée

Mouvement, déformation de figures et familles de figures

Changement de point de vue

Isoler par la pensée

Se servir d’une situation intermédiaire

Contenu visé

La démonstration du théorème de Pythagore par les aires des triangles.

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