Graphiques : relativisons !

L’activité en bref
Cette activité en trois temps est destinée à des enfants de 11 à 15 ans. Son enjeu principal est la question des données absolues ou relatives. On y découvre que le choix de présenter les unes ou les autres dans un graphique peut influencer la perception que l’on a d’une situation. D’un point de vue mathématique, on y manipule les notions de rapport et de pourcentage sur des visuels porteurs. Le site internet https://www.statbeljunior.be/fr est utilisé comme source de données actualisées et directement liées au lieu de vie des apprenants.

Matériel
Les enfants doivent avoir un accès à internet, via tablette ou ordinateur (au moins une machine pour deux enfants), pour confronter certaines de leurs productions aux représentations proposées sur le site statbeljunior et rechercher quelques informations complémentaires.
Si cela n’est pas possible, l’enseignant peut, pour ces tâches partielles, travailler avec l’ensemble du groupe via une navigation collective sur grand écran ou même via des captures d’écrans réalisées au préalable.

Partie 1 – Nationalités

Énoncé

a) Voici des informations concernant l’immigration à Arlon et à Ostende. Elles ont été recueillies [1]A la date du 03-03-2021. sur le site  https://www.statbeljunior.be/fr dans le parcours « Nationalités ».


ArlonOstende
Nombre d’habitants30 08171 647
Nombre de personnes de nationalité belge24 88863 690
Nombre de personnes de nationalité étrangère5 1937 957

Selon toi, quelle ville peut affirmer avoir plus d’étrangers que l’autre dans sa population ? Argumente ta réponse.

b) Sur le site  https://www.statbeljunior.be/fr , on peut trouver les graphiques suivants, qui donnent des informations sur l’origine des personnes de nationalité étrangère à Arlon et à Ostende. Le drapeau d’un pays n’apparaît que si au moins 1% des habitants ont cette nationalité. Les pays qui constituent moins de 1% sont additionnés et représentés par le globe terrestre.

ArlonOstende
Nombre de pays d’origine des habitants étrangers114139
Représentation graphique des pays d’origine des habitants étrangers
Nombre de personnes représentées par un drapeau5280

Les profils de ces villes sont-ils différents ? Argumente et complète ta réponse à la question a).
NB : Si tu te connectes sur statbeljunior, dans le parcours « Nationalités », et que tu retrouves les graphiques pour chacune des deux villes, en faisant glisser la souris sur un drapeau, tu verras apparaître le pays auquel il correspond.

c) Dans ta ville à toi, la ville [2]Les 3 informations de cette question doivent être recueillies au préalable par l’enseignant sur www.statbeljunior.be/fr. de …, il y a … habitants dont … de nationalité étrangère (européens et non européens).

  1. Représente la situation sur un quadrillage de 100 cases.
  2. Confronte ta solution à la représentation proposée sur le site  https://www.statbeljunior.be/fr dans le parcours « Nationalités ».
  3. Va dans l’onglet « De quel pays proviennent les personnes ayant une autre nationalité ? ». A partir de la représentation avec les drapeaux, détermine combien il y a approximativement de personnes de nationalité française, italienne et marocaine[3]Les nationalités données ici ne le sont qu’à titre d’exemple. Il peut être intéressant de partir de celles présentes dans la classe, dans l’école. dans ta commune.

Éléments de réponse[4]Données de 2019, récupérées sur le site en mars 2021.


Le nombre absolu de personnes de nationalité étrangère est de 5193 à Arlon, de 7957 à Ostende : de ce point de vue, c’est donc la population d’Ostende qui contient le plus d’étrangers. Si l’on ramène ces informations au nombre d’habitants, Arlon compte 17 % de personnes de nationalité étrangère contre 11 % à Ostende : de cet autre point de vue, c’est Arlon qui accueille le plus d’étrangers. Et on pourrait s’arrêter là, ce qui serait déjà pas mal.

Voici les graphiques proposés par le site pour représenter le pourcentage de personnes de nationalités belge (drapeau belge) et étrangère (mappemonde) de chaque ville.

ArlonOstende

Si maintenant on va voir de plus près les nationalités présentes, les réalités sont bien différentes d’une ville à l’autre.

  • Les habitants de Ostende ayant une autre nationalité proviennent de 139 pays différents contre 114 à Arlon. C’est relativement similaire. Mais…
  • Parmi les étrangers d’Arlon, on compte 27 % de Français (population la plus représentée), 8 % de Luxembourgeois et 2 % d’Allemands, soit 37 % provenant de pays frontaliers proches de la ville. A Ostende, 8 % seulement des étrangers proviennent du pays frontalier le plus proche, les Pays-Bas ; la population étrangère la plus représentée, les Afghans, représente 13 % des étrangers.

On peut aussi s’intéresser, par exemple, aux taux d’européens parmi les étrangers (au moins 77 % à Arlon contre 32 % à Ostende), aux réalités politiques des autres pays d’origine… Ce type de débat sort largement du cadre du cours de mathématiques.

Quelques commentaires didactiques

L’utilisation de pourcentages permet une comparaison directe de données relatives à des populations différentes. La comparaison de parties entre elles et de chaque partie par rapport au tout est également facilitée par l’expression des données sous forme de pourcentages. L’activité proposée met en pratique ces deux aspects sur des données réelles et illustrées sous forme graphique.

Un intérêt de l’onglet « Nationalités » du site https://www.statbeljunior.be/fr est justement la représentation des pourcentages sous une forme graphique où chaque pourcent correspond à une « boule », les 100 pourcents étant organisés sous la forme d’un rectangle de 10 lignes de 10. Cette représentation, évocatrice du champ de 100 chez les plus jeunes, constitue une image mentale pertinente pour beaucoup de situations de pourcentages. On la rencontre plus généralement sous la forme d’un carré quadrillé de 10 lignes et 10 colonnes, forme plus accessible aux productions des enfants. Elle permet de représenter visuellement chaque partie par rapport au tout (ici, le nombre de représentants de chaque nationalité par rapport au nombre total d’étrangers par exemple). En cas de problèmes impliquant des pourcentages, elle peut à l’occasion servir de représentation symbolique en soutien à l’identification des opérations à effectuer.

Exemple. Voici une représentation des populations belge et étrangère à Ottignies-Louvain-la-Neuve. Sachant qu’il y a 4430 habitants étrangers dans la ville, combien y a-t-il d’habitants au total[5]Ce nombre est une approximation car en réalité, le taux d’habitants de nationalité étrangère à Ottignies-Louvain-la-Neuve est de 14,15 %. ?

Sous forme de règle de trois :

Dans cette optique, l’enseignant pourra réinvestir à souhait la banque de données numériques et graphiques à sa disposition sur statbeljunior.

Sur statbeljunior, dans la sous-partie « De quels pays proviennent les personnes ayant une autre nationalité ? », la collection de drapeaux suscite la curiosité ; en glissant simplement la souris dessus, le nom du pays correspondant apparait.

Le fait de laisser les enfants explorer l’onglet « Nationalités » pour leur propre commune leur donne l’occasion de se familiariser avec le site, d’identifier les informations qu’il contient et d’éveiller leur intérêt pour cet outil qui leur donne un accès direct et aisé à des données par lesquelles ils peuvent se sentir concernés, relatives à leur lieu de vie.

Une réserve, toutefois. Sur statbeljunior, on trouve actuellement cette explication : « Un pourcentage est le calcul de quelque chose pour 100 ». C’est largement insuffisant pour que les enfants puissent cerner la notion de pourcentage. De même, si aucun travail périphérique sur le sujet n’a été réalisé auparavant, il est fort probable que le juste clic sur la formule « (nombre de personnes ayant une autre nationalité/ nombre d’habitants de la ville) × 100 » soit l’effet d’un heureux hasard plutôt que le signe d’une compréhension, et ce, même si le site demande aux enfants de cliquer sur « Je comprends » pour continuer. Des remarques du même type peuvent être faites pour d’autres « explications » données sur le site : elles sont donc à considérer avec beaucoup de prudence.

Quelques échos des classes

Le fait de travailler avec des données réelles et actuelles est manifestement une véritable source de motivation, capable de générer l’implication des apprenants généralement les plus réticents aux mathématiques.

L’accompagnement de l’enseignant à la prise de recul sur l’activité est indispensable. Sans cela, les enfants risquent de retenir les faits débattus (« il y a plus/moins d’étrangers à Arlon qu’à Ostende ») plutôt que la visée de la tâche (cf. « Le sel du problème »).

Pour certains enfants peu habitués à l’utilisation de l’ordinateur, le simple encodage de l’adresse du site internet constitue un premier obstacle. Si les enfants travaillent sur tablettes, un QR-code pourrait leur être fourni pour ne pas perdre de temps sur ce problème accessoire.

Le sel du problème

L’activité et son prolongement sont l’occasion de sensibiliser les apprenants à la question des données absolues ou relatives. Lorsque dans les médias, des nombres nous sont donnés pour nous informer, que nous disent-ils ? Pourquoi ont-ils été choisis ? Il s’agit de ne pas se laisser impressionner par les nombres en eux-mêmes, de les interroger. Au 24 mars 2020, 3283 morts du covid-19 en Chine, c’est beaucoup ou pas beaucoup ? Par rapport à la population chinoise, par rapport au nombre de morts dans tel pays au même moment ou au même stade de l’épidémie, par rapport à tel autre virus… ?  

La confrontation des données relatives aux populations étrangères à Arlon et Ostende peut aider les enfants à se rendre compte que selon les messages que l’on veut faire passer, on ne présente pas les mêmes données ; leur forme (absolue ou relative) peut influencer le point de vue. Évidemment, la mise en commun des arguments et des conclusions est incontournable pour structurer le tout et mener à un apprentissage.

Partie 2 – Victimes de la route

Énoncé

a) Voici les nombres d’accidents impliquant différents types d’usagers dans les communes de Braine-le-Comte et de Soignies en 2019[6]Données collectées sur le site www.statbeljunior.be/fr le 03-03-2021..

 MotoPiétonVoitureVéloCamionAutre
Braine-le-Comte7734303
Soignies5958510

Représente-les sur un seul graphique après les avoir ramenés à une population totale de 10 000 habitants. La population de Braine-le-Comte en 2019 était de 22 062 habitants, celle de Soignies, de 28 271 habitants.
Tu peux utiliser ta calculatrice[7]Si un accès à Excel via tablettes ou ordinateurs est envisageable, c’est une belle occasion de l’utiliser pour les calculs et la représentation graphique..

b) Sur le site https://www.statbeljunior.be/fr, clique sur l’icône « Victimes de la route » et suis attentivement le parcours complet proposé pour ta propre commune.
Comment y fait-on pour déterminer la ville la plus sûre, entre ta ville et Anvers ?

c) Sur le site, toute ville est systématiquement comparée à Anvers. Est-ce une bonne idée pour se faire une idée de la dangerosité de n’importe quelle ville ? Argumente (seul, puis en groupe).

d) Le site considère que le nombre d’accidents dans une ville est lié à la taille de sa population. Qu’en penses-tu ?

e) En 2019, laquelle de ces deux communes a été la plus sûre en termes de sécurité routière : Charleroi ou Liège ?
Pour répondre à cette question, reprends sur le site les données que tu jugeras nécessaires.
Présente par écrit les données collectées, tes opérations sur ces données et ta réponse à la question.

Éléments de réponse

a) Voici une représentation graphique possible, réalisée sur Excel.

En nombre d’habitants, Soignies et Braine-le-Comte sont de taille relativement comparable (28 271 à Soignies, 22 062 à B-l-C). Il y a moins d’accidents en général à Braine-le-Comte, sauf pour les motos. Induire un réflexe : et pourquoi ? Faire formuler des hypothèses.

Évidemment, le problème gagnera à être adapté à des lieux que les enfants connaissent.

b) Pour déterminer laquelle de deux villes est la plus sûre, le site statbeljunior ne compare pas les nombres absolus d’accidents : cela n’aurait pas de sens dans des villes qui seraient de tailles très différentes en termes de population. Il propose de ramener les nombres de victimes à 10 000 habitants. Un lien peut être fait avec l’activité précédente, où les nombres étaient ramenés à 100 habitants ; dans le cas qui nous occupe, ramener à 100 donnerait de trop petits nombres.

c) Même en rendant les données « comparables » mathématiquement, est-ce que cela a du sens de comparer celles d’Anvers avec une ville rurale, ou une ville de moindre trafic ? Intuitivement, des villes ayant des profils différents en termes de mobilité, d’activité économique, de localisation par exemple, risquent bien d’avoir des profils peu comparables aussi au niveau des victimes de la route. Tout dépend de ce que l’on fait des données ensuite… L’enseignant veillera à étayer le débat et à le limiter dans le temps.

d) On peut se dire que si la taille de la population peut influencer le nombre d’accidents d’une ville, ce ne doit certainement pas être le seul facteur et que d’autres éléments doivent entrer en compte (voir arguments à la question précédente). Ce qui est étonnant, c’est que malgré cette hypothèse simplificatrice explicitée, le site impose systématiquement Anvers comme ville de référence…

e) Pour qui cherche bien, les valeurs à comparer sont données telles quelles dans statbeljunior : 52,7 victimes par 10 000 habitants à Liège en 2019 contre 51,9 à Charleroi. Dans l’absolu, on pourrait conclure que c’est Charleroi la « plus sûre » des deux. Mais plus raisonnablement, on pourrait aussi conclure que les niveaux de dangerosité de Charleroi et de Liège sont semblables. C’est l’occasion d’essayer de comprendre ce qui, de façon relative, est une « petite » ou une « grande » différence entre deux villes. Dans le cas présent, on parle d’une différence absolue de moins d’une personne par 10 000 habitants, ce qui n’est pas significatif.

Quelques commentaires didactiques

La question a) est l’occasion de faire un travail plus technique d’adaptation de données et de construction de graphiques en bâtonnets ; elle n’est certainement pas à répéter trop souvent. Elle fera d’autant plus sens pour les enfants si elle traite de deux villes de sa région (données facilement collectables sur le site). L’enseignant peut aussi saisir l’opportunité pour initier ses élèves au tableur Excel et l’utiliser pour réaliser les calculs et les graphiques.

Les questions c) et d) gagnent à être traitées en collectif, l’éclairage de l’enseignant s’avérant nécessaire pour étayer les prémices d’hypothèses des enfants.

L’écart est grand entre le suivi assez passif du parcours « Victimes de la route » (b) et la recherche des informations pertinentes pour Liège et Charleroi (e). En chemin s’opère la prise de conscience de l’intérêt, dans certaines circonstances, de ramener des données à 10 000 habitants pour pouvoir les comparer. Le fait de s’interroger sur les caractéristiques des villes que l’on compare donne sa raison d’être à la question e), compte tenu des profils de Charleroi et Liège que l’on peut juger similaires à certains niveaux.

Quelques échos des classes

L’activité proposée permet aux statistiques d’entrer dans les classes du fondamental et du début du secondaire ; les enseignants qui l’ont testée dans leur classe ont apprécié ce fait. Parfois démunis pour proposer des situations signifiantes, ils ont noté l’intérêt de l’accès direct à des informations réelles, actuelles et ont souligné la motivation des enfants.

Le sel du problème

On ne peut pas tout comparer. Si les enfants accèdent à cette prise de conscience, c’est déjà beaucoup. S’ils font un lien avec l’activité précédente (« Nationalités »), c’est mieux encore.

Pour rendre des données comparables, les pourcentages ne sont pas toujours le moyen le plus approprié ; ici, c’est à 10 000 (plutôt qu’à 100) que l’on se réfère pour avoir des nombres entiers relativement petits.

Être capable de tracer un graphique peut être une voie pour mieux comprendre des graphiques tracés par d’autres, à d’autres occasions. Le faire avec le soutien d’un outil informatique offre souplesse, rapidité et qualité d’exécution ; jouer à modifier les données et anticiper puis voir l’implication sur le graphique stimule la réflexion. Travailler avec des données réelles donne de la valeur au questionnement, d’autant plus si elles évoquent un environnement proche de l’apprenant. C’est l’occasion de ressentir l’intérêt des statistiques pour refléter le monde, pour tenter de mieux le comprendre, voire pour agir dessus (on peut imaginer des interpellations de pouvoirs locaux sur la mobilité douce si elle compte beaucoup de victimes, par exemple plus que dans une commune voisine de profil similaire…).

Partie 3 – Climat : Chine ou Allemagne[8]Données provenant de http://www.globalcarbonatlas.org/fr/CO2-emissions (consulté le 04-02-2021). Question inspirée de l’enquête de l’APED menée auprès des jeunes sur le climat. Informations … Continue reading ?

Énoncé

Observe attentivement les deux graphiques suivants, en te concentrant sur la Chine et l’Allemagne. Ensuite, indique quelles conclusions tu peux tirer de ces deux graphiques en cochant la ou les affirmation(s) montrée(s) par les graphiques.
(Tu ne dois donc pas dire avec quoi tu es d’accord, mais ce que montrent les graphiques).

Affirmations

  • Un Chinois pollue en moyenne davantage qu’un Allemand.
  • Un Chinois pollue en moyenne moins qu’un Allemand.
  • Les deux graphiques se contredisent.    

Quelques commentaires didactiques

Ce problème, inspiré de l’une des questions d’une enquête de l’APED menée en 2019 auprès de 3259 élèves du dernier cycle du secondaire, est en fait à l’origine de notre réflexion autour des activités « Graphiques : relativisons » décrites ici. Dans les résultats de l’enquête, voici ce qui est mentionné : « Ils (les élèves) sont finalement à peine un peu plus nombreux (44%) à estimer qu’un Chinois pollue moins qu’à penser le contraire (41%). 32% pensent que les graphiques se contredisent. ». Nous avons été très interpelés par ce constat. Pour notre part, persuadés que des enfants de fin de primaire pouvaient accéder à une juste interprétation de ces graphiques, nous avons tenté de proposer un parcours d’apprentissage ayant pour ambition de développer les compétences adéquates pour y arriver…

Quelques échos des classes

Proposée à la suite des deux activités précédentes, cette question n’a présenté aucune difficulté pour les apprenants.

Sources

Cet enchainement de 3 problèmes a été principalement discuté dans le sous-groupe « Maths citoyennes et graphiques » du GEM en 2020.

Au cours de l’élaboration des activités, des essais de différentes versions ont été menés dans les classes de Yannick Duquesne, Morgane Minoy et Maude Mousset ; merci à elles pour l’accueil enthousiaste réservé ainsi que pour leurs remarques riches et constructives.

Notes

Notes
1 A la date du 03-03-2021.
2 Les 3 informations de cette question doivent être recueillies au préalable par l’enseignant sur www.statbeljunior.be/fr.
3 Les nationalités données ici ne le sont qu’à titre d’exemple. Il peut être intéressant de partir de celles présentes dans la classe, dans l’école.
4 Données de 2019, récupérées sur le site en mars 2021.
5 Ce nombre est une approximation car en réalité, le taux d’habitants de nationalité étrangère à Ottignies-Louvain-la-Neuve est de 14,15 %.
6 Données collectées sur le site www.statbeljunior.be/fr le 03-03-2021.
7 Si un accès à Excel via tablettes ou ordinateurs est envisageable, c’est une belle occasion de l’utiliser pour les calculs et la représentation graphique.
8 Données provenant de http://www.globalcarbonatlas.org/fr/CO2-emissions (consulté le 04-02-2021). Question inspirée de l’enquête de l’APED menée auprès des jeunes sur le climat. Informations disponibles sur le site http://www.skolo.org/2019/10/04/jeunes-et-climat-que-savent-ils-que-veulent-ils/