Lancer de deux dés

L’activité en bref

L’objectif est de trouver, à priori (à partir des fréquences observées) et à postériori (à partir du calcul des possibilités), les probabilités des différentes sommes obtenues en lançant deux dés.

Public cible

Toute classe ayant dans leur programme l’étude des probabilités :

  • 6GT, 6TT, 6TQ et 7ème
  • 2ème secondaire pour l’étude des fréquences (matière du CE1D )

N’importe quelle autre classe intéressée par une approche des phénomènes aléatoires.

Enjeux
  • Adopter une démarche expérimentale.
  • Comprendre le lien entre fréquences et probabilités.
  • Déterminer des probabilités à partir du calcul des possibilités.
Matériel

Deux dés par élèves.

Durée

Environ 3 heures de cours (4h si les élèves réalisent la simulation eux-mêmes).

Enoncé

Dans « Le devin », une aventure d’Astérix le Gaulois, un Gaulois se fait capturer par les Romains et tente de les convaincre qu’il n’est pas devin (voir l’extrait ci-dessous).

Croyez-vous qu’il s’agissait du bon choix pour le Gaulois ? Avait-il plus de chances d’obtenir VII plutôt qu’une autre somme ?

Répondons à ces questions étape par étape …

Etape 1 :

Chacun lance 20 fois deux dés en observant la somme des points. Notez vos résultats dans le tableau.

Résultat123456789101112
Nombre de fois            

A partir de ce que vous avez observé, croyez-vous que le choix du devin a été le bon ? Sinon qu’aurait-il dû choisir ?

Etape 2 :

Recueillons ensuite les résultats de tous les élèves de la classe (en prenant uniquement les résultats possibles). Y a-t-il un résultat qui apparait plus souvent que les autres ? Y a-t-il un résultat qui apparait moins souvent que les autres ? « 7 » était-il un bon choix pour le faux devin ?

Résultat23456789101112
Élève 1           
Élève  2           
Élève 3           
           
Élève 25           

Etape 3 :

Si on globalise les observations de tous les élèves de la classe, quels sont les résultats qui apparaissent le plus souvent ? Le moins souvent ? Avez-vous une explication à donner ?

Résultat23456789101112
Classe           

Etape 4 :

L’effectif d’un résultat étant le nombre de fois que se résultat est apparu, réalisez le graphique des effectifs des sommes obtenues par votre classe (sur papier quadrillé ou millimétré).

Etape 4bis (facultative) :

Voici ci-dessous les résultats de toutes les classes de l’école ayant participé à l’expérience.

Résultat23456789101112
Classe           

Comment pourrions-nous comparer les résultats de votre classe à ceux de toutes les classes ?

Faites un graphique en bâtonnets comparatif de votre classe avec toutes les autres classes (sur Excel ou sur une feuille à part.

La fréquence d’un résultat étant le rapport de son effectif au nombre total de lancers, que pouvez-vous dire de la fréquence d’obtenir « 7 » ?

Etape 5 (pour des  élèves ayant des cours de programmation ou habitué(habitués) à scratch ou python)[1] :

La fréquence d’un résultat étant le rapport de son effectif an nombre total de lancers, que se passe-t-il quand on lance un très grand nombre de fois les deux dés. Plutôt que les lancer, nous allons faire une simulation à l’aide d’un logiciel.

Il s’agit donc d’écrire un programme « scratch » ou « python » permettant de lancer un grand nombre de paires de dés.

Qu’observez-vous après simulation ?

Etape 5bis (version avec la simulation réalisée par l’enseignant) :

Approchons-nous de la probabilité des sommes des deux dés à l’aide d’une simulation.

Voici les effectifs obtenus pour une simulation de 1 million de lancers de deux dés.

Somme des deux désEffectif des différentes sommes sur 1 000 000
227584
355662
483329
5111249
6138504
7166229
8139698
9110851
1083120
1155799
1227975

Calculer les fréquences aux millièmes près :

Somme des deux désFréquence des différentes sommes
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 

Qu’observez-vous ?

Pouvez-vous en déduire les chances de chacune des sommes et donner une conclusion sur le choix du « devin ».


[1] En annexe : exemple de code scratch et python

Éléments de réponse et quelques commentaires didactiques

Etape 1 :

Les élèves devraient se rendre compte qu’il est impossible d’obtenir 1 en sommant deux faces de dés. On peut ainsi définir la notion « d’événement impossible » Généralement, certains élèves auront obtenu beaucoup de fois la somme 7 et d’autres peu, voire aucune fois.  Il est donc difficile à ce stade de dire si 7 est un mauvais choix ou non.

Etapes 2,3 et 4 :

Les sommes les plus fréquentes seront généralement les sommes médianes (5,6,7,8,9). Il est intéressant à ce stade de demander aux élèves pourquoi selon eux ce sont ces sommes qui reviennent le plus et noter toutes leur hypothèses (même celles qui paraissent erronées et qui seront discutées dans la suite).

Pour la réalisation du graphique, il n’est pas précisé de faire un graphique en bâtonnets et ce, dans le but de créer le débat. En effet, il peut être intéressant de voir si certains élèves choisissent, par exemple, de faire un graphique à points reliés. Ce qui ouvre la discussion quant à la pertinence on non de relier les points.

Etape 4bis :

Cette étape n’est possible que si vous expérimentez cette activité dans plusieurs classes. Ce sera à vous de compléter le tableau en fonction des résultats obtenus dans toutes vos classes.  Elle permet aux élèves d’utiliser leur connaissance sur les fréquences car ils devront calculer les fréquences des sommes de leur classe ainsi que celle de l’ensemble des classes. L’intérêt de l’activité est de comparer les situations avec peu ou beaucoup de lancers de dés (un exemple est donné ci-dessous).

Etape 5 :

A partir des fréquences obtenues grâce à la simulation (réalisée par vos élèves ou celle de l’enseignant reprise dans l’énoncé). Le tableau ci-dessous nous donne un exemple.

Somme des deux désFréquence
20,028
30,056
40,083
50,111
60,139
70,166
80,140
90,111
100,083
110,056
120,028
  • On constate que certaines fréquences sont très proches. Si on note « 2 », l’événement « avoir 2 », P(2) évalue les chances d’obtenir 2, à savoir la probabilité de cet événement. À partir du tableau résultant de la simulation, on peut conjecturer que: P(2) = P(12) ; P(3) = P(11) ; P(4) = P(10) ; P(5) = P(9) ; P(6) = P(8)
  • La fréquence de 7 (0,166) est très proche de la fréquence de chacune des faces en lançant un seul dé. On peut donc conjecturer que P(7) = 1/6

Comment pourrait-on justifier que P(7) = 1/6 ?

Voici une suggestion de procédure…

Quelles sont les sommes possibles pour avoir 7 ?

2+5, 3+4, 1+6

Quels sont les sommes possibles pour avoir 8 ?

2+6, 3+5, 4+4

Pourtant grâce à la simulation, nous savons que 7 apparaît plus fréquemment que 8.

C’est qu’il faut distinguer une somme comme 4+4 (qui ne peut s’obtenir que d’une façon avec deux dés à  qui affichent 4) d’une somme comme 2+5 (qui peut s’obtenir de deux façons : un 2 avec le premier dé et un 5 avec le second ou le contraire).

Voici donc les possibilités détaillées pour la somme 7 et la somme 8 :

Avoir 7 ?

2+5, 3+4, 1+6, 5+2, 4+3 et 6+1 (6 possibilitéss).

Avoir 8 ?

2+6, 3+5, 4+4, 6+2 et 5+3 (5 possibilités).

Nous savons donc que  P(7) =  6/ (nombre total de possibilités) = 1/6.

On en déduit qu’il y a en tout 36 possibilités.

De la même manière, on peut déterminer les autres probabilités :

Avoir 2 : 1+1 (1 possibilité ) : P(2) = 1/36 = P(12)

Avoir 3 : 1+2,2+1 (2 possibilités ) : P(3) = 2/36 =1/18 = P(11)

Avoir 4 : 2+2,3+1,1+3 (3 possibilités ) : P(4) = 3/36 = 1/12 = P(10)

Avoir 5 : 2+3,3+2,1+4,4+1 (4 possibilités ) : P(5) = 4/36 = 1/9 = P(9)

Avoir 6 : 3+3,2+4,4+2,1+5,5+1 (5 possibilités ) : P(6) = 5/36 = P(8)

Avoir 7 : 1+6,6+1,2+5,5+2,3+4,4+3 (6 possibilités ) : P(7) = 6/36 = 1/6

Une autre façon de procéder eut été de réaliser le tableau des sommes obtenues afin de comptabiliser l’effectif de chaque somme.

 +123456
1234567
2345678
3456789
45678910
567891011
6789101112
Quelques échos des classes

L’activité a été testée dans deux classes de 6TQ, une classe de 7PC et une classe de 2ème différenciée

Pour avoir de plus amples informations sur les échos des classes, voir le rapport d’observation ci-dessous (certains énoncés apparaissent dans leur version première et ont été retravaillé depuis ces expérimentations).

Le sel du problème

L’intérêt de cette activité, c’est qu’elle permet de faire le lien entre fréquences et probabilités (dans le programme de 6ème secondaire) au travers d’une expérience dont les événements élémentaires ne sont pas équiprobables et dot les probabilités sont donc un peu moins évidentes à cerner. Il s’agit à la fois d’une approche fréquentiste des probabilités et d’une approche classique par les combinaisons.[1]

Elle permet également aux élèves d’émettre des hypothèses et ainsi de créer le débat entre eux.


[1] Nous reprenons les termes de fréquentiste et de classique à Batanero C., Chernoff E.J., Engel J., Lee H.S., Sánchez E. (2016) Research on Teaching and Learning Probability. In: Research on Teaching and Learning Probability. ICME-13 Topical Surveys. Springer, Cham. Pour l’approche “classique” d’autres parlent de probabilité théorique ou de probabilité à priori. Tandis que pour l’approche fréquentiste, certains parlent de probabilité à postériori.

Annexe

Annexe

Code python :

import random # importation du module de création de nombre aléatoire

print(« Ce code permet de simuler de(le) lancers de paire de dés »)

Nbr_Lancer = int(input(« Combien de lancers, voulez-vous effectuez »))

# les compteurs de sommes (de 2 à 12)

C2 = 0

C3 = 0

C4 = 0

C5 = 0

C6 = 0

C7= 0

C8 = 0

C9 = 0

C10 = 0

C11 = 0

C12 = 0

for i in range (Nbr_Lancer): # je fais toutes mes lancés(lancers)

    Des1 = random.randint(1, 6)

    Des2 = random.randint(1, 6)

    Somme = Des1 + Des2

    #le compteur en question augmente si sa face apparait

    if Somme ==2:

        C2 = C2+1

    elif Somme ==3:

        C3 = C3+1

    elif Somme  ==4:

        C4 = C4+1

    elif Somme  ==5:

        C5 = C5+1

    elif Somme  ==6:

        C6 = C6+1

    elif Somme  ==7:

        C7 = C7+1

    elif Somme  ==8:

        C8 = C8+1

    elif Somme  ==9:

        C9 = C9+1

    elif Somme  ==10:

        C10 = C10+1

    elif Somme  ==11:

        C11 = C11+1

    elif Somme  ==12:

        C12 = C12+1

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 2: », C2)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 3: », C3)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 4: », C4)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 5: », C5)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 6: », C6)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 7: », C7)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 8: », C8)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 9: », C9)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 10: », C10)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 11: », C11)

print(« Nombre de fois que j’ai obtenu une somme égale à 12: », C12)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 2: », C2/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 3: », C3/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 4: », C4/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 5: », C5/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 6: », C6/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 7: », C7/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 8: », C8/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 9: », C9/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 10: », C10/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 11: », C11/Nbr_Lancer)

print(« Fréquence d’avoir une somme de 12: », C12/Nbr_Lancer)

Code scratch :

https://scratch.mit.edu/projects/464028439/