Le théorème de Thalès par les aires de parallélogrammes

par
Thales.png

Public : 14 – 15 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

Théorème de Thalès dans un triangle.


Une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base si et seulement si elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

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Autrement dit, étant donné un triangle ACC’, un point B appartenant à [AC] et un point B’ appartenant à [AC’], les droites BB’ et CC’ sont parallèles, si et seulement si

    \[\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}}.\]

Démonstration par les aires de parallélogrammes

L’idée de cette démonstration, qui s’inspire de celle d’EUCLIDE (Les Eléments, proposition 2 du livre VI) est due, à notre connaissance, à Françoise VAN DIEREN.

Première partie

On suppose d’abord BB’ et CC’ parallèles. On veut en déduire que \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}.

Plaçons un point quelconque F, différent de A, sur la droite parallèle à BB’ passant par A. Construisons les parallélogrammes AFDC et AFD’C’. La droite BB’ les coupe chacun en deux parallélogrammes.

ThalesParallelogramme.png

On a successivement

    \[\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\text{Aire} BCDE}{\text{Aire} ABEF}},\]

car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases,

    \[\small{\frac{\text{Aire} BCDE}{\text{Aire} ABEF}=\frac{\text{Aire} B'C'D'E'}{Aire A'B'E'F'}}\]

car deux parallélogrammes de même base ([BE], [AF] et [B’E’] ont même longueur) et de même hauteur ont même aire,

    \[\small{\frac{\text{Aire} B'C'D'E'}{\text{Aire} A'B'E'F'}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}},\]

car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases.

Finalement ces trois égalités permettent de déduire que

    \[\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}}.\]

Pour animer la figure suivante, bougez le point Mob.

Deuxième partie.

On suppose maintenant que \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}. On veut en déduire que BB’ et CC’ sont parallèles.

Plaçons un point quelconque F, différent de A, sur la droite parallèle à BB’ comprenant A. Construisons les parallélogrammes AFDC et AFD’C’. La droite BB’ les coupe chacun en deux parallélogrammes. Remarquons qu’on ne sait pas si D et D’ sont alignés avec C et C’ puisqu’on n’a pas encore montré que CC’ est parallèle à BB’.

Image_1-3.png

Par hypothèse,

    \[\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}}.\]

Par ailleurs

    \[\small{\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\text{Aire}BCDE}{\text{Aire}ABEF}} \ \text{ et } \ \small{\frac{\text{Aire}B'C'D'E'}{AireA'B'E'F'}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}},\]

car le rapport des aires de deux parallélogrammes ayant même hauteur égale celui de leurs bases,

On en déduit que

    \[\small{\frac{\text{Aire}B CDE}{\text{Aire} ABEF}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}=\frac{\text{Aire}B'C'D'E'}{\text{Aire}A'B'E'F'}},\]

et donc

    \[\small{\frac{AireB CDE}{\text{Aire} ABEF}=\frac{\text{Aire}B'C'D'E'}{\text{Aire}A'B'E'F'}}.\]

ThalesParallelogramme2.png

De plus, comme les parallélogrammes ABEF et AB’E’F ont la même base ([BE], [AF] et [B’E’] sont même longueur) et la même hauteur, ils ont la même aire. Donc les parallélogrammes BCDE et B’C’D’E’ ont aussi la même aire. Comme ils ont de plus des bases [BE] et [B’E’] de même longueur, ils ont forcément même hauteur.
Autrement dit, CC’ est parallèle à BB’.


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