Vers une démonstration du théorème de Thalès par les aires de triangles

On utilise la comparaison d’aires de triangles pour démontrer le théorème de Thalès et sa réciproque, à la manière d’Euclide.

Public : 14 – 15 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

Voici l’énoncé du théorème de Thalès (et de sa réciproque) dans un triangle.

Une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base si et seulement si elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

ThalesDem1.png

Cet énoncé recouvre deux propositions réciproques que l’on peut énoncer comme suit.

Proposition 1. Si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base alors elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

Proposition 2. Si une droite découpe sur deux côtés d’un triangle des segments de longueurs proportionnelles, alors elle est parallèle au troisième côté.

Piste pour une démonstration

Proposition 1. On suppose d’abord BB’ et CC’ parallèles. On veut en déduire que

$fracoverlineBCoverlineBA=fracoverlineB’C’overlineB’A.$

Les quatre figures suivantes sont la base de la démonstration d’EUCLIDE. Ne manquent que les arguments… Ecrivez-les.

ThalesDem4.png

Proposition 2. On veut maintenant démontrer l’implication inverse. Voyez ce que l’on suppose, ce que l’on a déjà établi dans la première partie et qui peut nous être utile et ce que l’on veut en déduire.

Image_2.png

Solution

Voir la démonstration du théorème de Thalès

Activités en amont

Familles de triangles à 12-14 ans

Aire des triangles à 12-14 ans

Activités en aval

Le théorème de Thalès par l’aire des triangles.

Instruments de pensée

Mouvement et déformation de figures

Changement de point de vue

Se servir d’une situation intermédiaire

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