Familles de parallélogrammes à 12 – 14 ans

Tous ces matériels permettent de visualiser des familles de parallélogrammes.

Le matériel a) n’engendrera que des parallélogrammes. En effet, tout quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés sont de même longueur deux à deux est un parallélogramme.

Le périmètre reste inchangé, mais l’aire varie. C’est le rectangle qui possède l’aire la plus grande. Plus les angles aigus sont petits, plus l’aire est petite.

Pour animer la figure suivante, bougez le point rouge.

On ne pourra jamais obtenir un losange sans changer les tiges articulées.

Les éléments de cette famille de parallélogrammes se caractérisent par l’invariance de la longueur de leurs côtés. Ils sont donc de même périmètre. On peut représenter cette famille comme ceci.

Le matériel b) illustre la propriété “tout quadrilatère (non croisé) dont deux côtés sont parallèles et de même longueur est un parallélogramme”.

L’aire reste inchangée, mais le périmètre varie. Lorsque celui-ci est le plus petit, on obtient un rectangle. On peut théoriquement obtenir un parallélogramme de périmètre aussi grand que l’on veut pour autant que l’on prolonge les deux tiges aussi loin que l’on veut.

Pour animer la figure suivante, bougez le point rouge.

Les éléments de cette famille de parallélogrammes se caractérisent par l’invariance de la base et de la hauteur. Ils ont donc la même aire. On peut représenter cette famille comme ceci.

Si la distance entre les deux tiges est plus petite que la longueur des tubes, on peut obtenir un losange, en déplaçant un tube pour que tubes et côtés élastiques aient même longueur. On voit ainsi le losange apparaître dans la famille des parallélogrammes.

Pour obtenir une famille de trapèzes non parallélogrammes, on pourrait remplacer un des deux tubes par un tube plus long ou plus petit.

Le matériel c) illustre la propriété “tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme”.

L’aire est la plus grande quand on place ces deux diagonales perpendiculairement, c’est-à-dire quand le quadrilatère est un losange. Pour s’en convaincre, on peut
décomposer le parallélogramme en deux triangles dont la base commune est une diagonale et s’arranger pour maximiser la hauteur de ces triangles.

On peut penser dans un premier temps que le périmètre ne varie pas. En effet, il ne varie pas énormément. Mais on peut constater de façon expérimentale que le périmètre est plus grand lorsque les diagonales sont perpendiculaires. L’étude théorique de cette variation dépasse le cadre de l’enseignement secondaire inférieur, mais on peut tout de même démontrer la non constance du périmètre en évoquant un cas limite (instrument de pensée) et l’inégalité triangulaire (propriété).

Lorsque les quatre sommets sont alignés, on obtient une figure dont le “périmètre” est le double de la longueur de la diagonale [AB].

L’inégalité triangulaire appliquée au triangle ABC nous assure que la longueur de la diagonale est moindre que la somme des longueurs de deux côtés consécutifs du quadrilatère. Pour résoudre ces problèmes d’aire et de périmètre, nous avons isolé par la pensée une partie de la figure (la moitié) et raisonné sur celle-ci.

On ne pourra pas obtenir un rectangle sans changer une des tiges-diagonales. Pour avoir un rectangle, il faudrait en effet que les deux diagonales aient même longueur. On aurait alors toute une famille de rectangles.

Le matériel d) semble donner lieu au même type de famille que le b). Ce n’est pas le cas. On se rend compte en considérant un cas extrême, lorsque les deux bandes se recouvrent presque entièrement, que l’aire peut devenir très grande.
Même si la hauteur (l’écart entre les deux bords d’une bande) ne varie pas, la base qui y correspond, elle, varie.

Ce matériel illustre la définition la plus courante du parallélogramme : “un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles”.

Le périmètre aussi varie. Périmètre et aire sont minimaux lorsque le parallélogramme est un rectangle. En effet, dans ce cas, les quatre côtés sont de longueur minimale et la hauteur est constante.

Pour animer la figure suivante, bougez un des points Mob.

Les cas particuliers du losange ou du carré apparaissent (seulement) lorsque les deux bandes sont de même largeur. Pour le voir, exprimons l’aire du parallélogramme de deux façons différentes : . Si , alors, pour conserver l’égalité, on doit avoir , et inversément (si , alors ). Autrement dit, les côtés sont tous de même longueur si et seulement si les bandes sont de même largeur.

Le matériel e) engendre la même famille que le matériel b). La base des parallélogrammes est la largeur des cartes. Sa hauteur est la somme des épaisseurs des cartes. Le matériel est cependant techniquement plus limité que le b) et, même en pensée, il est moins aisé d’imaginer des parallélogrammes de périmètre très grand.