Aire de triangles à 12 – 14 ans

La hauteur doit mesurer 5 cm. Voici quelques solutions :

L’ensemble de tous les points C qui conviennent est constitué de deux droites parallèles à la base [AB].

Conclusion : si deux triangles ont la même base et les sommets opposés à cette base sur une droite parallèle à celle-ci, alors ils ont la même aire.

Une méthode possible consiste à garder la base du triangle et à “pousser” le sommet opposé sur une parallèle à la base.

On peut engendrer plusieurs familles de triangles en réitérant le processus…

Voici quatre procédés pour quadrupler l’aire du triangle.

En (1), on a quadruplé la hauteur. En (2), c’est la base qui est quadruplée.
On utilise les propriétés suivantes :
– le rapport des aires de deux triangles de même base est égal au rapport de leurs hauteurs,
– le rapport des aires de deux triangles de même hauteur est égal au rapport de leurs bases.

Le procédé (3) se base aussi sur cette dernière propriété, mais c’est un autre côté qui a été choisi comme base.

On peut aussi, comme en (4), choisir de doubler la base — l’aire est ainsi doublée — puis de doubler la hauteur — l’aire est ainsi à nouveau doublée, donc quadruplée au total.

En (5), on a doublé une base, puis une autre. La dernière figure montre que, dans le grand triangle ainsi obtenu, on peut placer quatre triangles isométriques au triangle de départ. Remarquons que le grand triangle est un agrandissement (une figure semblable) du petit.

a) Les triangles ABC et DEF ont même base et même hauteur donc même aire. Le triangle GHI a aussi même hauteur mais une plus grande base, donc une aire plus grande.

b) Deux triangles de même base et dont les troisièmes sommets sont sur une parallèle à leur base commune ont même aire : les triangle ABC et ADC ont donc même aire. Par contre les points A et E ne sont pas sur une même droite parallèle à DC. La hauteur de EDC relative à la base [DC] est plus grande que celle de ADC relative à la même base. Le triangle EDC a une aire plus grande que ADC et ABC.