Le théorème de Thalès par les aires des triangles

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ThalesDem1.png

Public : 14 – 15 ans

Voici une démonstration du théorème de Thalès et de sa réciproque par les aires des triangles, à la manière d’Euclide.
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Théorème de Thalès dans un triangle et réciproque

Une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base si et seulement si elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles

Cet énoncé recouvre deux propositions réciproques que l’on peut énoncer comme suit.

Théorème de Thalès. Si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base alors elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

ThalesDem1.png

Réciproque du théorème de Thalès. Si une droite découpe sur deux côtés d’un triangle des segments de longueurs proportionnelles, alors elle est parallèle au troisième côté.

L’idée de la démonstration se trouve dans Les Eléments d’EUCLIDE (proposition 2 du livre VI).

Démonstration du théorème de Thalès

On suppose d’abord BB’ et CC’ parallèles. On veut en déduire que \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}.

Thales1.jpg


On a successivement




\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\text{Aire} BCB'}{\text{Aire} ABB'},

car le rapport des aires de deux triangles ayant même hauteur égale celui de leurs bases,



\frac{\text{Aire} BCB'}{\text{Aire} ABB'}=\frac{\text{Aire} BC'B'}{\text{Aire} ABB'},

car deux triangles de même base et de même hauteur ont même aire (ou parce deux triangles de même base et ayant leurs sommets opposés sur une parallèle à cette base ont même aire) ,




\frac{\text{Aire} BC'B'}{\text{Aire} ABB'} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}},

car le rapport des aires de deux triangles ayant même hauteur égale celui de leurs bases.


Démonstration de la réciproque

On suppose maintenant que \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}. On veut en déduire que BB’ et CC’ sont parallèles.

ThalesDem1.png


Par hypothèse

    \[\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}}=\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}.\]

Par ailleurs

    \[\frac{\text{ Aire} BCB'}{\text{Aire} ABB'} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}} \text{ et }\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}= \frac{\text{Aire}BC'B'}{\text{Aire} ABB'},\]

car les aires de deux triangles ayant même hauteur sont entre elles comme leurs bases.

ThalesDem3.png

On en déduit que

    \[\frac{\text{Aire} BCB'}{\text{Aire} ABB'} = \frac{\overline{BC}}{\overline{BA}} =\frac{\overline{B'C'}}{\overline{B'A}}= \frac{\text{Aire} BC'B'}{\text{Aire} ABB'},\]

et donc

    \[\text{Aire} BC'B' = \text{Aire} BC'B'.\]

Comme les triangles BCB’ et BC’B’ ont la même base et qu’ils ont même aire, leurs troisièmes sommets sont sur une droite parallèle à leur base commune [BB’] (puisqu’ils doivent avoir même hauteur ; voir aires de triangles). Autrement dit, CC’ est parallèle à BB’.

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