Le théorème de Thalès par les aires des triangles

Public : 14 – 15 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

Voici l’énoncé du théorème de Thalès et sa réciproque dans un triangle.


Une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base si et seulement si elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

Cet énoncé recouvre deux propositions réciproques que l’on peut énoncer comme suit.

Théorème de Thalès. Si une droite coupant deux côtés d’un triangle est parallèle à la base alors elle découpe sur ces côtés des segments de longueurs proportionnelles.

Réciproque du théorème de Thalès. Si une droite découpe sur deux côtés d’un triangle des segments de longueurs proportionnelles, alors elle est parallèle au troisième côté.
ThalesDem1.png


Démonstration par les aires de triangles

L’idée de cette démonstration se trouve dans Les Eléments d’EUCLIDE (proposition 2 du livre VI).

Démonstration du théorème de Thalès.

On suppose d’abord BB’ et CC’ parallèles. On veut en déduire que

$footnotesize fracoverlineBCoverlineBA=fracoverlineB’C’overlineB’A.$

Thales1.jpg
On a successivement

$small fracoverlineBCoverlineBA=
fracmboxrm Aire BCB’ mboxrm Aire ABB’, $


car le rapport des aires de deux triangles ayant même hauteur égale celui de leurs bases,

$small frac mboxrm Aire BCB’mboxrm Aire ABB’=
frac mboxrm Aire BC’B’mboxrm Aire ABB’, $


car deux triangles de même base et de même hauteur ont même aire (ou parce deux triangles de même base et ayant leurs sommets opposés sur une parallèle à cette base ont même aire) ,

$small
fracmboxrm Aire BC’B’ mboxrm Aire ABB’ =
fracoverlineB’C’overlineB’A,$


car le rapport des aires de deux triangles ayant même hauteur égale celui de leurs bases.

Démonstration de la réciproque.

On suppose maintenant que

$fracoverlineBCoverlineBA=fracoverlineB’C’overlineB’A.$On veut en déduire que BB’ et CC’ sont parallèles.

ThalesDem1.png
Par hypothèse$$fracoverlineBCoverlineBA=fracoverlineB’C’overlineB’A.$$

Par ailleurs $$fracmboxrm Aire BCB’mboxrm Aire ABB’ = fracoverlineBCoverlineBA mbox rm et
fracoverlineB’C’overlineB’A= fracmboxrm Aire BC’B’mboxrm Aire ABB’,$$ car les aires de deux triangles ayant même hauteur sont entre elles comme leurs bases.
ThalesDem3.png

On en déduit que
$$fracmboxrm Aire BCB’mboxrm Aire ABB’ = fracoverlineBCoverlineBA =
fracoverlineB’C’overlineB’A= fracmboxrm Aire BC’B’mboxrm Aire ABB’,$$


et donc
$$mboxrm Aire BC’B’ = mboxrm Aire BC’B’.$$

Comme les triangles BCB’ et BC’B’ ont la même base et qu’ils ont même aire, leurs troisièmes sommets sont sur une droite parallèle à leur base commune BB’] (puisqu’ils doivent avoir même hauteur; voir [aires de triangles ). Autrement dit, CC’ est parallèle à BB’.

Activités en amont

Travailler sur les aires de triangles à 10-12 ans

Aller plus loin sur les aires de triangles en travaillant le changement de point de vue à 12-13 ans

Une activité pour découvrir la démonstration

Instruments de pensée

Mouvement , déformation de figures et familles de figures

Changement de point de vue

Isoler par la pensée

Se servir d’une situation intermédiaire

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