Trois formes de la formule d’aire des triangles

Cette suite d’activités permet de retrouver les trois formes de la formule de l’aire du triangle en partant de la formule d’aire du parallélogramme ou du rectangle :

$\frac{base \times hauteur}{2}$ ou $\frac{base}{2} \times hauteur$ ou $base \times \frac{hauteur}{2}$

La présentation utilisant la fraction est courante chez les enseignants, mais le passage de « : 2 » à « $\frac{ }{2}$ » n’est pas évident. Pour certains élèves, « $\frac{ }{2}$ » n’évoque que l’idée de « demi ».

Il est nécessaire de d’abord présenter ces formules en utilisant le signe de la division, c’est-à-dire les formules sous la forme (B x h) : 2 , (B : 2) x h , B x (h : 2).

Public : 10 – 12 ans

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Une géométrie articulée de 10 à 15 ans

Première forme de la formule

Activité 1

Matériel : deux grands tubes sont fixés sur une planche, deux autres tubes coulissent sur ceux-ci. Les tubes courts et l’élastique forment des figures.
Sur le support, on glisse des feuilles quadrillées par des carrés de 1 cm de côté. Ce matériel est le même que celui proposé pour visualiser une famille de parallélogrammes et comparer leurs aires, si ce n’est qu’on a ajouté un élastique en oblique pour faire apparaître deux triangles.

1. Placez le matériel dans la même position que sur la photo. Déterminez l’aire des trois figures qui apparaissent (un rectangle et deux triangles).

2. Modifiez la position du matériel pour obtenir un parallélogramme et deux triangles. Déterminez l’aire de chacune des figures.

3. Faites le travail n°2 trois fois. Veillez à faire apparaître des parallélogrammes différents.

Aide si vous ne voyez pas que les triangles sont identiques

Essayez une des techniques suivantes :
– tourner le support d’un demi-tour,
– tracer sur la feuille quadrillée le contour des figures. Enlever la feuille, la tourner d’un demi-tour et la reglisser sous le matériel,
– reproduire les figures sur une feuille quadrillée, les découper et comparer les triangles en les superposant.

Activité 2

Matériel : des feuilles quadrillées 1 cm

1. Dessinez un rectangle. Tracez un segment qui coupe ce rectangle en deux triangles identiques. Notez l’aire du rectangle et l’aire d’un des triangles.

2. Tracez un parallélogramme. Tracez un segment qui coupe ce parallélogramme en 2 triangles identiques. Notez l’aire du parallélogramme et l’aire d’un des triangles.

3. Faites deux fois les expérimentations 1 et 2 et notez à nouveau l’aire du rectangle ou du parallélogramme et l’aire de chaque triangle.

4. Avez-vous déjà une idée de la formule qui permet de calculer l’aire d’un triangle ? Si oui, notez-la.

Activité 3

Matériel : télécharger le fichier pdf ci-dessous (en bas de page).
Voici un extrait de ce fichier, échantillon de tous les cas qui y sont présentés :

Quelle est l’aire de ces figures ?

Aire du rectangle :	du parallélogramme :	du parallélogramme :	du parallélogramme :
Aire d’un triangle :	d’un triangle :	d’un triangle :	d’un triangle :

La formule que vous avez utilisée pour calculer l’aire des rectangles ou parallélogrammes est :

base x hauteur.

Comment modifier cette formule pour qu’elle permette de calculer l’aire de chaque triangle proposé ?

Remarque pour la solution

Il est important que les élèves réalisent que pour calculer l’aire, il faut utiliser la hauteur et non certaines autres données fournies comme la longueur de la diagonale.

Activité 4

Matériel : télécharger le fichier pdf ci-dessous (en bas de page).
Voici un extrait de ce fichier, échantillon de tous les cas qui y sont présentés :

Quelle est l’aire de ces figures ?

Aire du triangle :

du rectangle :

du parallélogramme :

1. Quel est le lien entre l’aire des parallélogrammes et l’aire du triangle ?

2. Écrivez la formule de l’aire du triangle.

Solution

Comme un triangle est toujours la moitié d’un parallélogramme ou d’un rectangle, son aire est égale à la moitié de l’aire de ce parallélogramme ou rectangle.

La formule pour calculer l’aire du triangle est donc :

aire du triangle :

$\frac{(base \times hauteur)}{ 2}$ ou $\frac{(B \times h)}{ 2}$

Deuxième forme de la formule

Avec les activités précédentes, vous avez découvert que la formule permettant de calculer l’aire d’un triangle est

$\frac{(base \times hauteur)}{ 2}$ ou $\frac{(B \times h)}{ 2}$

Il existe deux autres formes de la formule pour calculer l’aire du triangle. Les activités qui suivent vous permettent de les découvrir.

Matériel : télécharger le fichier pdf ci-dessous (en bas de page).
Voici un extrait de ce fichier, échantillon de tous les cas qui y sont présentés :

Comment passe-t-on du triangle au rectangle ? Et l’aire du triangle ?

Remarque : la transformation de triangles en rectangles utilisée ne fonctionne qu’avec des triangles isocèles.

1. Dans chacune des quatre séries de dessins, on transforme un triangle en un rectangle en 3 étapes.
– on découpe le triangle en deux parties égales en partant du milieu de la base.
– on retourne un des triangles et on le glisse pour que les deux côtés obliques soient l’un contre l’autre.
– on obtient alors un rectangle.
Pour chaque série, note l’aire du rectangle obtenu et l’aire du triangle de départ.

2. Réponds aux questions en sachant qu’on garde la même procédure de transformation du triangle de départ.
a) Si on transforme un triangle de 8 cm de base et de 7 cm de hauteur en un rectangle, quelle sera l’aire de ce rectangle ? Écris le calcul. Quelle est l’aire du triangle de départ ?
b) Mêmes questions si le triangle a une base de 6 cm et une hauteur de 11 cm.
c) Mêmes questions si le triangle a une base de 2 m et une hauteur de 3 m.
d) Mêmes questions si le triangle a une base de 20 m et une hauteur de 15 m.
e) Si on transforme un triangle dont la base mesure B et la hauteur mesure h en un rectangle, écris, en utilisant les lettres B et h, le calcul qui permet de trouver l’aire du triangle.

Solutions

Énoncé 2

a) Aire du rectangle = 4 x 7 = 28 cm² ; aire du triangle de départ = 28 cm².

b) Aire du rectangle = 3 x 11 = 33 cm² ; aire du triangle de départ = 33 cm².

c) Aire du rectangle = 1 x 3 = 3 m² ; aire du triangle de départ = 3 m².

d) Aire du rectangle = 10 x 15 = 150 m² ; aire du triangle de départ = 150 m².

e) Aire du triangle : $\frac{base}{2} \times hauteur$ ou $\frac{B}{2} \times h$ ;

ceci est la deuxième formule pour calculer l’aire d’un triangle.

Troisième forme de la formule

Matériel : télécharger le fichier pdf ci-dessous (en bas de page).
Voici un extrait de ce fichier, échantillon de tous les cas qui y sont présentés :

Comment passe-t-on du triangle au parallélogramme ? Et l’aire du triangle?

1. Dans chacune des quatre séries de dessins, on transforme un triangle en un parallélogramme ou un rectangle en 3 étapes.
Quelles sont ces étapes ?

2. Pour chaque série, note l’aire du parallélogramme ou du rectangle obtenu et l’aire du triangle de départ. Dans l’exemple présenté ci-dessus, l’aire du parallélogramme est déjà notée.

3. Réponds aux questions en sachant qu’on garde la même procédure de transformation du triangle de départ.
a) Si on transforme un triangle rectangle de 5 m de base et de 4 m de hauteur en un rectangle, quelle sera l’aire de ce rectangle ? Écris le calcul. Quelle est l’aire du triangle de départ ?
b) Si on transforme un triangle quelconque de 9 cm de base et de 6 cm de hauteur en un parallélogramme, quelle sera l’aire de ce parallélogramme ? Écris le calcul. Quelle est l’aire du triangle de départ ?
c) Mêmes questions si le triangle a une base de 13 cm et une hauteur de 10 cm.
d) Mêmes questions si le triangle a une base de 21 m et une hauteur de 16 m.
e) Si on transforme un triangle qui a une base qui mesure B et une hauteur qui mesure h en un rectangle ou en un parallélogramme, écris le calcul qui permet de calculer l’aire du triangle en utilisant les lettres B et h.

Solutions

Question 1

– On découpe le triangle parallèlement à sa base, au milieu de la hauteur.
– On tourne le triangle du dessus et on le glisse pour que les deux côtés obliques soient l’un contre l’autre.
– On obtient alors un parallélogramme ou un rectangle si on est parti d’un triangle rectangle.

Question 2

a) Aire du triangle et du parallélogramme 6 cm².

b) Aire du triangle et du parallélogramme 7,5 cm².

c) Aire du triangle et du parallélogramme 6,75 cm².

d) Aire du triangle et du parallélogramme 6 cm².

Question 3

a) Aire du rectangle = 5 x 2 = 10 m². Aire du triangle de départ = 10 m².

b) Aire du parallélogramme = 9 x 3 = 27 cm². Aire du triangle de départ = 27 cm².

c) Aire du parallélogramme = 13 x 5 = 65 cm². Aire du triangle de départ = 65 cm².

d) Aire du parallélogramme = 21 x 8 = 168 m². Aire du triangle de départ = 168 m².

e) Aire du triangle : $base \times \frac{ hauteur}{2}$ ou $B \times \frac{h}{2}$ ;