Familles de parallélogrammes de 10 à 12 ans

Tous ces matériels permettent de visualiser des familles de parallélogrammes. Pour chacun, on peut faire varier l’amplitude des angles. Nous nous intéressons surtout ici à la variation de l’aire et du périmètre. La variation de l’amplitude des angles fera l’objet d’un autre article.

Avec le matériel a), on obtient une famille de parallélogrammes (du moins si on ne croise pas les tiges) de même périmètre, mais dont l’aire varie. Lorsque l’aire est la plus grande, on obtient un rectangle. Mais aucun des quadrilatères obtenus n’a l’aire la plus petite. En effet lorsque les quatre sommets sont alignés, ils ne déterminent plus un quadrilatère. Néanmoins on peut s’approcher d’aussi près que l’on veut de cette configuration.

Pour animer la figure suivante, bougez le point rouge.

Les éléments de cette famille de parallélogrammes se caractérisent par l’invariance de la longueur de leurs côtés. Tous ces parallélogrammes ont donc le même périmètre. On peut représenter cette famille comme ceci.

On ne pourra jamais obtenir un losange sans changer les tiges articulées.

Avec le matériel b), c’est l’aire qui reste inchangée, mais le périmètre varie. Lorsque celui-ci est le plus petit, on obtient un rectangle. On peut théoriquement obtenir un parallélogramme de périmètre aussi grand que l’on veut pour autant que l’on prolonge les deux tiges aussi loin qu’on le veut.

Pour animer la figure suivante, bougez le point rouge.

Les éléments de cette famille de parallélogrammes se caractérisent par l’invariance de la base et de la hauteur. Tous ces parallélogrammes ont donc même aire. On peut représenter cette famille comme ceci.

Si la distance entre les deux tiges est plus petite que la longueur des tubes, on peut obtenir un losange, en déplaçant un tube pour que tubes et côtés élastiques aient même longueur. On voit ainsi le losange, comme c’était le cas du rectangle, apparaître dans la famille des parallélogrammes.

Le matériel c) semble donner lieu au même type de famille que le b). Ce n’est pas le cas. On se rend compte en considérant un cas extrême, lorsque les deux bandes se recouvrent presque entièrement, que l’aire peut devenir très grande.

Même si la hauteur (l’écart entre les deux bords d’une bande) ne varie pas, la base qui y correspond, elle, varie.

Le périmètre aussi varie. Périmètre et aire sont minimaux lorsque le parallélogramme est un rectangle. En effet, dans ce cas, les quatre côtés sont de longueur minimale. Pour animer la figure suivante, bougez un des points Mob.

Pour obtenir un losange ou un carré, il faudrait que les deux bandes soient de même largeur. On peut s’en rendre compte en plaçant les deux bandes de façon qu’une diagonale du parallélogramme soit verticale. On voit alors qu’elle est un axe de symétrie de la figure. Pour une démonstration du fait que l’on obtient bien un losange, voir Familles de parallélogrammes à 12-14 ans.