Comparaison et déformation de figures à 12 – 14 ans

Plusieurs procédures sont possibles. Certaines consistent à comparer ces deux parallélogrammes à une figure intermédiaire : un rectangle ayant même base et même hauteur que les deux parallélogrammes.

Pour cela, on peut déformer continûment le parallélogramme P1 et le transformer en un rectangle : on fixe un de ses côtés pris comme base et on fait glisser le côté opposé parallèlement à la base. Ensuite, on change de point de vue, on fixe une autre base et on applique le même procédé pour transformer le rectangle en parallélogramme P2 de même aire. Une alternative est de transformer les deux parallélogrammes en un même rectangle.

On peut aussi obtenir le rectangle rouge en coupant un morceau (un coin triangulaire) de P1 et en le plaçant de l’autre côté. Puis faire de même avec le parallélogramme P2.

Les deux parallélogrammes ont donc la même aire.

Une autre procédure consiste à constater que la base de P1 est la hauteur de P2 et vice versa. En évoquant la formule d’aire du parallélogramme, on conclut qu’ils ont même aire. Mais cette solution paraît assez abstraite.

Voici quelques solutions pour transformer un parallélogramme en parallélogrammes ou rectangles de même aire.

Plusieurs solutions mettent en jeu des familles de parallélogrammes de même base et de même hauteur, en faisant varier le point de vue.

a) on fait glisser un côté horizontal sur la droite qui le contient;

c) on fait glisser un côté oblique sur la droite qui le contient;

c) on fait glisser un côté horizontal sur la droite qui le contient ensuite on fait de même avec un côté oblique;

d) en utilisant la même méthode, on peut obtenir le cas particulier du rectangle.

Voici quelques solutions pour transformer un parallélogramme en losange de même aire.

Pour cela, de nombreuses stratégies sont possibles.

a) On peut voir le losange dans une famille de parallélogrammes de même base et de même hauteur. On fait glisser un des grands côtés parallèlement au côté opposé jusqu’à ce que les quatre côtés aient même longueur. On peut glisser vers la gauche ou vers la droite.

b) On peut aussi passer par une figure intermédiaire rectangle et la transformer en un losange.

Pour justifier la construction, on évoque la formule de l’aire du losange

ou le découpage.

On détermine le milieu d’un côté du rectangle sans la règle en traçant la médiatrice à l’aide du compas ou en pliant la feuille.

c) On peut enfin travailler sur les diagonales (que l’on veut perpendiculaires) et sur l’aire de deux triangles que fait apparaitre une diagonale.

On fait glisser un sommet parallèlement à une diagonale jusqu’à ce que les deux diagonales soient perpendiculaires. La diagonale fixe sépare le losange en deux triangles identiques qui ont chacun la même aire que chacun des deux triangles composant le parallélogramme de départ (voir Aire de triangles). Cette résolution nécessite que l’on isole par la pensée une partie du parallélogramme.

Pour résoudre ce problème, nous pouvons donc utiliser au choix, la définition du losange, la propriété de ses diagonales ou la formule d’aire.

Voici comment transformer un parallélogramme en un autre parallélogramme de même périmètre.

Pour transformer un parallélogramme tout en en conservant le périmètre, on peut mettre en jeu une famille de parallélogrammes de même base et de même périmètre, en choisissant un côté comme base. On trouve une deuxième famille en changeant de point de vue.