Vers une démonstration du théorème de Thalès par les aires de parallélogrammes

Les parallélogrammes A’’A’B’B’’ et B’’B’C’C’’ sont faciles à comparer car ils sont coincés entre deux mêmes parallèles, autrement dit ils ont même hauteur. Le rapport de leurs aires égale donc celui de leurs bases, c’est-à-dire

On peut s’en persuader soit en utilisant la formule d’aire du parallélogramme, soit en décomposant les deux parallélogrammes en plus petits parallélogrammes comme à la figure ci-dessous.

Il en va de même pour les parallélogrammes A’ABB’ et B’BCC’, qui ont mêmes bases que les deux parallélogrammes déjà comparés.

Comment comparer ABB’A’ et A’B’B’’A’’ ? A priori ils n’ont pas même hauteur du moins si on les « regarde » avec leurs bases horizontales. Mais un changement de point de vue peut tout arranger. Relativement aux bases [AA’] et [A’A’’], ils ont même hauteur. Le rapport de leurs aires égale donc celui de leurs bases, c’est-à-dire .

Il en est de même pour les parallélogrammes BCC’B’ et B’C’C’’B’’.

Il est alors aisé de comparer ABB’A’ et B’C’C’’B’’, par exemple, dont le rapport des aires égale ., c’est–à-dire . On peut aussi retrouver ce rapport sur la figure suivante où tous les parallélogrammes ont été décomposés en plusieurs parallélogrammes isométriques.

La propriété générale utilisée pour résoudre ce problème et que nous voulons mettre en évidence est la suivante.

Le rapport des aires de deux parallélogrammes de même hauteur égale celui de leurs bases.

Remarquons que la décomposition des parallélogrammes en plusieurs parallélogrammes isométriques peut être employée dès qu’il existe une petite longueur entrant exactement un nombre entier de fois dans l’une et l’autre bases. On dit dans ce cas que les deux bases sont commensurables. C’est ce qui se passe si le rapport des deux longueurs égale un nombre rationnel (qui s’écrit sous la forme d’une fraction de deux entiers).

Hélas, il arrive que ce ne soit pas le cas : il existe des longueurs non commensurables.
Démontrer la proposition dans ce cas est un peu plus fastidieux et dépasse le cadre du secondaire inférieur. Précisons tout de même que l’idée intuitive de la démonstration est que, puisque la proposition est vraie pour les parallélogrammes dont le rapport des bases est rationnel, cela devrait être le cas pour les rapports irrationnels, ceux-ci étant « coincés » entre ceux-là.

Si nous utilisons la formule d’aire du parallélogramme, le problème (la distinction des rapports rationnels et irrationnels) ne semble pas se poser. Mais cela n’est qu’illusion. En fait, dans le cadre de ce site et c’est aussi le cas dans l’enseignement, nous n’avons démontré cette formule que dans le cas de longueurs mesurées à l’aide de nombres entiers (voir Formules d’aires de quelques figures planes). Il ne serait pas très difficile de la démontrer dans le cas où les deux mesures sont rationnelles. Mais le cas des mesures irrationnelles demanderait le même type de raisonnement que celui qui sert à démontrer la proposition précédente.

a) Les parallélogrammes BGDE et BCHE ont même base [BE] et même hauteur, donc même aire. C’est le cas aussi des parallélogrammes ADCB et EDCF dont la base commune est [DC].

En appliquant la proposition citée lors de la résolution du problème précédent, on voit que l’aire de ADCB est double de celle de BCHE.

b) On peut voir le parallélogramme « sur sa pointe » situé à gauche dans le parallélogramme ADCB, encadré par deux triangles. De même, le parallélogramme « sur sa pointe » situé à droite est encadré par deux triangles, dans le parallélogramme EDCF, qui a même aire que ADCB.
Tous les triangles évoqués étant isométriques (la preuve en est laissée au lecteur), les deux parallélogrammes sur leur pointe sont de même aire.

Les aires de BAFE et B’AFE’ sont égales, de même que celles de CBED et C’B’E’D’, car ils ont même base deux à deux (ou des bases de même longueur) et même hauteur.

Le rapport des aires de BAFE et CBED est égal au rapport de leurs « bases » et , c’est-à-dire . Le rapport des aires de B’AFE’ et C’B’E’D’ est donc également égal à .

Considérons donc un triangle ACC’ tel que le segment [BB’] est parallèle à la base [CC’] et complétons ce triangle comme ci-dessus en lui ajoutant des parallélogrammes.

Remarquons que, dans cette dernière figure, les aires de BAFE et B’AFE’ sont égales, de même que celles de CBED et C’B’E’D’, car ces parallélogrammes ont même base deux à deux (ou des bases de même longueur) et même hauteur.

Ensuite, effectuons un changement de point de vue et considérons les parallélogrammes BAFE et CBED sur leurs bases [AB] et [BC].
Le rapport de leurs aires est égal au rapport de leurs « bases » . De même, le rapport des aires de B’AFE’ et C’B’E’D’ est égal au rapport de leurs « bases » .

Or il nous faut montrer que

Rassemblant tout ce que l’on a déjà établi, on trouve

On retrouve la démonstration du théorème de Thalès et de sa réciproque dans l’article démonstration du théorème de Thalès.